Вычислить объём тела, ограниченного заданными поверхностями

Предмет: Математика
Раздел: Математический анализ — Кратные интегралы (объёмы тел, ограниченных поверхностями)

Задание 2:
Вычислить объём тела, ограниченного заданными поверхностями:

z = 2 - (x^2 + y^2),\quad x + 2y = 1,\quad x \geq 0,\quad y \geq 0,\quad z \geq 0

Шаг 1: Анализ ограничивающих поверхностей

• Верхняя поверхность: z = 2 - (x^2 + y^2) — это параболоид, направленный вниз.
• Область D в плоскости Oxyограничена:
  • Прямой: x + 2y = 1
  • Осями координат: x \geq 0, y \geq 0

Найдём проекцию тела на плоскость Oxy. Это треугольник с вершинами:

• (0,0) — пересечение осей
• (1,0) — при y = 0 \Rightarrow x = 1
• (0,0.5) — при x = 0 \Rightarrow y = 0.5

Шаг 2: Выражение объёма через двойной интеграл

Объём тела можно выразить как:

 V = \iint\limits_D \left(2 - (x^2 + y^2)\right)\, dx\,dy 

Где D — треугольник, ограниченный прямой x + 2y = 1 и координатными осями.

Шаг 3: Пределы интегрирования

Выразим область D в виде:

• x от 0 до 1
• y от 0 до (1 - x)/2

Тогда:

 V = \int_0^1 \int_0^{\frac{1 - x}{2}} \left(2 - x^2 - y^2\right)\, dy\, dx 

Шаг 4: Вычисление внутреннего интеграла

Вычислим по y:

 \int_0^{\frac{1 - x}{2}} (2 - x^2 - y^2)\, dy = \left[ (2 - x^2)y - \frac{y^3}{3} \right]_0^{\frac{1 - x}{2}} 

Подставим верхний предел:

 (2 - x^2)\cdot \frac{1 - x}{2} - \frac{1}{3} \cdot \left( \frac{1 - x}{2} \right)^3 

Шаг 5: Вычисление внешнего интеграла

Обозначим результат внутреннего интеграла как функцию от x и вычислим:

 V = \int_0^1 \left[ (2 - x^2)\cdot \frac{1 - x}{2} - \frac{1}{3} \cdot \left( \frac{1 - x}{2} \right)^3 \right] dx 

Упростим выражение:

1. Первая часть:

 (2 - x^2)\cdot \frac{1 - x}{2} = \frac{(2 - x^2)(1 - x)}{2} 

Раскроем скобки:

 = \frac{1}{2}(2(1 - x) - x^2(1 - x)) = \frac{1}{2}(2 - 2x - x^2 + x^3) 

2. Вторая часть:

 \frac{1}{3} \cdot \left( \frac{1 - x}{2} \right)^3 = \frac{1}{3} \cdot \frac{(1 - x)^3}{8} = \frac{(1 - x)^3}{24} 

Итак, полный интеграл:

 V = \int_0^1 \left[ \frac{1}{2}(2 - 2x - x^2 + x^3) - \frac{(1 - x)^3}{24} \right] dx 

Раскроем и объединим:

 V = \int_0^1 \left(1 - x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{2} - \frac{(1 - x)^3}{24} \right) dx 

Вычислим (1 - x)^3 = 1 - 3x + 3x^2 - x^3, тогда:

 \frac{(1 - x)^3}{24} = \frac{1}{24} - \frac{1}{8}x + \frac{1}{8}x^2 - \frac{1}{24}x^3 

Теперь подставим всё:

 V = \int_0^1 \left(1 - x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{2} - \left( \frac{1}{24} - \frac{1}{8}x + \frac{1}{8}x^2 - \frac{1}{24}x^3 \right) \right) dx 

Соберём всё вместе:

 V = \int_0^1 \left( \frac{23}{24} - \frac{7}{8}x - \left( \frac{4}{8} - \frac{1}{8} \right)x^2 + \left( \frac{12}{24} + \frac{1}{24} \right)x^3 \right) dx 

 V = \int_0^1 \left( \frac{23}{24} - \frac{7}{8}x - \frac{3}{8}x^2 + \frac{13}{24}x^3 \right) dx 

Шаг 6: Интегрирование

 \int_0^1 \left( \frac{23}{24} - \frac{7}{8}x - \frac{3}{8}x^2 + \frac{13}{24}x^3 \right) dx = \frac{23}{24}x - \frac{7}{16}x^2 - \frac{1}{8}x^3 + \frac{13}{96}x^4 \Big|_0^1 

Подставим x = 1:

 \frac{23}{24} - \frac{7}{16} - \frac{1}{8} + \frac{13}{96} 

Приведём к общему знаменателю (наименьшее общее кратное — 96):

 \frac{92}{96} - \frac{42}{96} - \frac{12}{96} + \frac{13}{96} = \frac{92 - 42 - 12 + 13}{96} = \frac{51}{96} 

Ответ:

V = \frac{17}{32}

Если остались вопросы — могу подробно расписать любой шаг!