Вычислить объём тела, ограниченного поверхностями

Предмет: Математический анализ.

Раздел: Многомерные интегралы и вычисление объёмов тел.

Задание:

Вычислить объем тела, ограниченного следующими поверхностями:

• \(x^2 + y^2 = 4\),
• \(x^2 + y^2 = 8z\),
• \(z = 0, \ z \geq 0\).

Решение:

1. Интерпретация уравнений:
   • Уравнение \(x^2 + y^2 = 4\) — это цилиндр радиуса 2 с осью вдоль оси \(z\), так как \(x^2 + y^2\) — выражение для радиуса на плоскости \(xy\).
   • Уравнение \(x^2 + y^2 = 8z\) задает параболический цилиндр, который расширяется по радиусу при увеличении значения \(z\).
   • \(z = 0\) ограничивает тело снизу.
2. Использование полярных координат: Чтобы упростить интеграл, перейдём к полярной системе координат. В полярных координатах:
   • \(x = r\cos\theta\),
   • \(y = r\sin\theta\),
   • \(x^2 + y^2 = r^2\).
   Тогда уравнения стали:
   • \(r^2 = 4 \quad \Rightarrow r = 2\) (поверхность внешнего цилиндра),
   • \(r^2 = 8z \quad \Rightarrow z = \frac{r^2}{8}\) (параболоид).
3. Постановка задачи для объема: Мы вычисляем объём тела, который ограничен снизу цилиндром радиуса 2 (на плоскости \(z = 0\)) и сверху параболическим цилиндром. Объем можно найти с помощью двойного интеграла в полярных координатах:

   \[ V = \int\limits_0^{2\pi} \int\limits_0^2 z(r) \cdot r \, dr \, d\theta, \]

   где \(z(r) = \frac{r^2}{8}\).
4. Рассчёт объема: Подставим выражение для \(z(r)\):

   \[ V = \int\limits_0^{2\pi} \int\limits_0^2 \frac{r^2}{8} \cdot r \, dr \, d\theta = \int\limits_0^{2\pi} \int\limits_0^2 \frac{r^3}{8} \, dr \, d\theta. \]

   Теперь решаем интеграл по \(r\):

   \[ \int_0^2 \frac{r^3}{8} \, dr = \frac{1}{8} \cdot \frac{r^4}{4} \Big|_0^2 = \frac{1}{8} \cdot \frac{16}{4} = \frac{1}{8} \cdot 4 = \frac{1}{2}. \]

   Теперь решаем интеграл по \(\theta\):

   \[ \int_0^{2\pi} d\theta = 2\pi. \]

   Итак, окончательно:

   \[ V = \frac{1}{2} \cdot 2\pi = \pi. \]

Ответ:

Объем тела равен \(\pi\).