Вычислить объемы тел, ограниченных данными поверхностями

Решение задачи о вычислении объёма с использованием тройных интегралов

Задача, представленная на изображении, относится к разделу математики, и в частности, к вычислительному методу под названием "тройные интегралы" в рамках высшей математики или математического анализа. Цель задачи – найти объём тела, ограниченного данными поверхностями:

• Параболической поверхностью az = y^2;
• Цилиндром x^2 + y^2 = r^2;
• Плоскостью z = 0.

Для начала необходимо определить пределы интегрирования для каждой из переменных (x, y, z).

1. Поскольку z = 0 является нижней границей области, описываемой телом, и задано, что поверхность az = y^2 является верхней границей, пределы для z будут: 0 ≤ z ≤ \frac{y^2}{a}.
2. Цилиндр x^2 + y^2 = r^2 является границей в плоскости xy, поэтому пределы для x и y можно задать, используя полярные координаты. Таким образом, для радиальной координаты \rho пределы будут: 0 ≤ \rho ≤ r. Угловая координата \theta охватывает полный круг, поэтому пределы для \theta будут: 0 ≤ \theta ≤ 2\pi.

Теперь можно выразить объем через тройной интеграл в полярных координатах (используя \rho и \theta вместо x и y, а \rho d\rho d\theta вместо dx dy):

V = \int \int \int dV = \int \int \int d\rho d\theta dz

Где внутренний интеграл по dz имеет пределы от 0 до \frac{\rho^2 \cos^2(\theta)}{a} по z, средний интеграл по dθ имеет пределы от 0 до 2\pi, а внешний интеграл по dρ имеет пределы от 0 до r.

Двигаясь в порядке интегрирования от dz к dρ, можно записать тройной интеграл: V = \int_{\theta=0}^{2\pi} \int_{\rho=0}^r \left[ \int_{z=0}^{\frac{\rho^2 \cos^2(\theta)}{a}} dz \right] \rho d\rho d\theta

Вычисляя данное выражение, можно получить объем тела. На изображении уже дан первый шаг решения, где определяются пределы для z. Вам нужно продолжить интегрирование для получения точного числового ответа.