Вычислить объемы тел, ограниченных данными поверхностями

Условие:

Вычислить объемы тел, ограниченных данными поверхностями az=y2, x2 + y2 = r², z = 0

Решение:

Задача, представленная на изображении, относится к разделу математики, и в частности, к вычислительному методу под названием "тройные интегралы" в рамках высшей математики или математического анализа. Цель задачи – найти объём тела, ограниченного данными поверхностями: 1. Параболической поверхностью az = y^2; 2. Цилиндром x^2 + y^2 = r^2; 3. Плоскостью z = 0. Для начала необходимо определить пределы интегрирования для каждой из переменных (x, y, z). 1. Поскольку z = 0 является нижней границей области, описываемой телом, и задано, что поверхность az = y^2 является верхней границей, пределы для z будут: 0 ≤ z ≤ (y^2)/a. 2. Цилиндр x^2 + y^2 = r^2 является границей в плоскости xy, поэтому пределы для x и y можно задать, используя полярные координаты. Таким образом, для радиальной координаты ρ пределы будут: 0 ≤ ρ ≤ r. Угловая координата θ охватывает полный круг, поэтому пределы для θ будут: 0 ≤ θ ≤ 2π. Теперь можно выразить объем через тройной интеграл в полярных координатах (используя ρ и θ вместо x и y, а ρdρdθ вместо dxdy): V = ∫∫∫dV = ∫∫∫dρdθdz Где внутренний интеграл по dz имеет пределы от 0 до (ρ^2 * cos^2(θ))/a по z, средний интеграл по dθ имеет пределы от 0 до 2π, а внешний интеграл по dρ имеет пределы от 0 до r. Двигаясь в порядке интегрирования от dz к dρ, можно записать тройной интеграл: V = ∫ (θ=0 to 2π) ∫ (ρ=0 to r) [∫ (z=0 to (ρ^2 * cos^2(θ))/a) dz ] ρdρdθ Вычисляя данное выражение, можно получить объем тела. На изображении уже дан первый шаг решения, где определяются пределы для z. Вам нужно продолжить интегрирование для получения точного числового ответа.