Вычислить объем тела,полученного вращением фигуры Ф вокруг указательной оси

Предмет: Математика (Раздел: Интегралы, Объем тела вращения)

Мы имеем задание найти объем тела, полученного вращением фигуры \( \Phi \) вокруг оси \( Ox \), где:

• График функции: \( y = \sin(x) \),
• Линия: \( y = 0 \) (то есть ось \( Ox \)),
• Промежуток: \( 0 \leq x \leq \pi \).

Шаг 1: Формула объема тела вращения

Объем тела вращения может быть найден с помощью формулы для вращения около оси Ox:

\[ V = \pi \int_{a}^{b} (f(x))^2 dx \]

где:

• \( f(x) \) — функция, задающая форму вращаемой фигуры,
• \( a \) и \( b \) — границы интегрирования.

В нашем случае:

• \( f(x) = \sin(x) \),
• \( a = 0 \), \( b = \pi \).

Получим:

\[ V = \pi \int_{0}^{\pi} (\sin(x))^2 dx \]

Шаг 2: Упрощение интеграла

Интеграл \( \int (\sin(x))^2 dx \) можно взять, используя тригонометрическое тождество:

\[ \sin^2(x) = \frac{1 - \cos(2x)}{2} \]

Тогда выражение для объема становится:

\[ V = \pi \int_{0}^{\pi} \frac{1 - \cos(2x)}{2} dx \]

Шаг 3: Вычисление интеграла

Разделим интеграл на два, чтобы упростить вычисление:

\[ V = \frac{\pi}{2} \left( \int_{0}^{\pi} 1 dx - \int_{0}^{\pi} \cos(2x) dx \right) \]

1. Интеграл от \( 1 \) прост:

\[ \int_{0}^{\pi} 1 dx = \pi \]

2. Интеграл от \( \cos(2x) \):

\[ \int_{0}^{\pi} \cos(2x) dx = \left[\frac{\sin(2x)}{2}\right]_{0}^{\pi} = \frac{\sin(2\pi) - \sin(0)}{2} = 0 \]

Теперь подставим результаты:

Ответ: Объем тела, полученного вращением, равен \( \frac{\pi^2}{2} \).

\[ V = \frac{\pi}{2} \left( \pi - 0 \right) = \frac{\pi^2}{2} \]