Вычислить объем тела, заданного неравенствами

Предмет: Математика

Раздел: Кратные интегралы

Рассмотрим задачу №2:
Вычислить объем тела, заданного неравенствами
z \geq \sqrt{x^2 + y^2}, \, x^2 + y^2 + z^2 \leq 2z.

Решение:

1. Анализ области интегрирования

   • Неравенство z \geq \sqrt{x^2 + y^2} описывает тело, находящееся выше конуса с осью z, вершина которого в начале координат, а уравнение которого z = \sqrt{x^2 + y^2}.
   • Неравенство x^2 + y^2 + z^2 \leq 2z описывает шар, центр которого находится в точке (0, 0, 1) с радиусом 1. Уравнение шара:
     (x^2 + y^2 + z^2 - 2z = 0) \implies (x^2 + y^2 + (z - 1)^2 = 1).

2. Областью является часть шара, находящаяся выше конуса.

3. Переход к сферическим координатам
   В сферических координатах:
    x = \rho \sin\phi \cos\theta, \, y = \rho \sin\phi \sin\theta, \, z = \rho \cos\phi, 
   где \rho — радиус-вектор, \phi — угол между радиус-вектором и осью z, \theta — азимутальный угол в плоскости xy. Якобиан перехода:
   J = \rho^2 \sin\phi.

4. Границы интегрирования

   • Угол \theta: от 0 до 2\pi.
   • Угол \phi: от 0 до \pi/4 (определяется пересечением конуса и сферы).
   • Радиус \rho: от 0 до 2\cos\phi (определяется уравнением сферы \rho = 2\cos\phi).

5. Объем через тройной интеграл
   Объем тела вычисляется как:
    V = \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{\pi/4} \int_{0}^{2\cos\phi} \rho^2 \sin\phi \, d\rho \, d\phi \, d\theta. 

6. Вычисление интеграла

   • Интегрируем по \rho:
      \int_{0}^{2\cos\phi} \rho^2 \, d\rho = \left[\frac{\rho^3}{3}\right]_{0}^{2\cos\phi} = \frac{(2\cos\phi)^3}{3} = \frac{8\cos^3\phi}{3}. 

   • Интеграл принимает вид:
      V = \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{\pi/4} \frac{8\cos^3\phi}{3} \sin\phi \, d\phi \, d\theta. 

   • Выносим константы:
      V = \frac{8}{3} \int_{0}^{2\pi} d\theta \int_{0}^{\pi/4} \cos^3\phi \sin\phi \, d\phi. 

   • Интегрируем по \phi:
     Замена u = \cos\phi, \, du = -\sin\phi \, d\phi, границы меняются: при \phi = 0, \, u = 1, при \phi = \pi/4, \, u = \sqrt{2}/2.
     Тогда:
      \int_{0}^{\pi/4} \cos^3\phi \sin\phi \, d\phi = -\int_{1}^{\sqrt{2}/2} u^3 \, du = \left[-\frac{u^4}{4}\right]_{1}^{\sqrt{2}/2} = \frac{1}{4} - \frac{(\sqrt{2}/2)^4}{4} = \frac{1}{4} - \frac{1}{16} = \frac{3}{16}. 

   • Интегрируем по \theta:
      \int_{0}^{2\pi} d\theta = 2\pi. 

   • Подставляем:
      V = \frac{8}{3} \cdot 2\pi \cdot \frac{3}{16} = \frac{16\pi}{16} = \pi. 

Ответ:

Объем тела равен \pi.