Вычислить объем тела V ограниченного следующими поверхностями

Определим предмет и раздел.

Данная задача относится к предмету высшая математика, а конкретно к разделу интегральное исчисление многих переменных и поверхности и объемы тел вращения.

Решение задачи:

Задано уравнение поверхности \( z = x^2 + y^2 + 1 \) и цилиндрическая поверхность \( x^2 + y^2 = 4x \). Необходимо найти объем тела, ограниченного этими поверхностями, и условием \( z \geq 0 \).

Первым шагом мы разберем уравнение цилиндра \( x^2 + y^2 = 4x \).

Шаг 1: Переход к полярным координатам

Для упрощения вычислений полезно перейти от декартовых координат \( (x, y, z) \) к полярным координатам \( (r, \theta, z) \). Введем стандартные замены:

• \( x = r \cos \theta \)
• \( y = r \sin \theta \)

Теперь уравнение цилиндра \( x^2 + y^2 = 4x \) преобразуем так:

\[ r^2 = 4r \cos \theta \]

Разделим на \( r \) (при \( r \neq 0 \)) и получим:

\[ r = 4 \cos \theta \]

Это уравнение определяет границу области в полярных координатах.

Рассмотрим теперь поверхность \( z = x^2 + y^2 + 1 \) в полярных координатах:

\[ z = r^2 + 1 \]

Мы получили следующие уравнения:

1. Область в плоскости \( (x, y) \) пограничена уравнением \( r = 4 \cos \theta \).
2. Поверхность \( z = r^2 + 1 \) задает верхнюю границу по оси \( z \).

Теперь вычислим объем.

Шаг 2: Настройка интеграла для вычисления объема

Мы будем интегрировать по полярным координатам. Для этого определим пределы изменения \( r \) и \( \theta \):

• \( r \) изменяется от 0 до \( 4 \cos \theta \).
• \( \theta \) изменяется от \( -\frac{\pi}{2} \) до \( \frac{\pi}{2} \) (поскольку область симметрична относительно оси \( x \)).

Объем \( V \) можно записать в виде двойного интеграла:

\[ V = \int_{\theta=-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \int_{r=0}^{4\cos \theta} (r^2 + 1) r \, dr \, d\theta \]

где \( (r^2 + 1) \) — высота тела, а \( r \, dr \, d\theta \) — элемент площади в полярных координатах.

Шаг 3: Вычисление внутреннего интеграла

Внутренний интеграл вычисляет вклад по радиальной части:

\[ \int_{0}^{4\cos \theta} (r^2 + 1) r \, dr \]

Разделим этот интеграл на две части:

\[ \int_{0}^{4\cos \theta} r^3 \, dr + \int_{0}^{4\cos \theta} r \, dr \]

Вычислим их отдельно:

1. \[ \int_{0}^{4\cos \theta} r^3 \, dr = \left[ \frac{r^4}{4} \right]_{0}^{4\cos \theta} = \frac{(4\cos \theta)^4}{4} = 64 \cos^4 \theta \]
2. \[ \int_{0}^{4\cos \theta} r \, dr = \left[ \frac{r^2}{2} \right]_{0}^{4\cos \theta} = \frac{(4\cos \theta)^2}{2} = 8 \cos^2 \theta \]

Теперь подставим эти результаты в общий интеграл:

\[ \int_{\theta=-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} (64 \cos^4 \theta + 8 \cos^2 \theta) d\theta \]

Шаг 4: Вычисление углового интеграла

Рассмотрим теперь угловые интегралы:

1. \[ \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \cos^4 \theta \, d\theta \]
2. \[ \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \cos^2 \theta \, d\theta \]

Сначала воспользуемся стандартными формулами для усредненных степеней косинуса:

1. \[ \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \cos^2 \theta \, d\theta = \frac{\pi}{2} \]
2. \[ \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \cos^4 \theta \, d\theta = \frac{3\pi}{8} \]

Подставляем эти результаты:

\[ V = 64 \cdot \frac{3\pi}{8} + 8 \cdot \frac{\pi}{2} = 24\pi + 4\pi = 28\pi \]

Ответ:

Объем тела \( V = 28\pi \)