Вычислить объем тела, полученного вращением кривой, ограниченной прямыми и осью вокруг оси

Предмет: Математика (Высшая математика)

Раздел предмета: Интегральное исчисление, объемы тел вращения

Задание:

Нужно вычислить объем тела, полученного вращением кривой \( y = e^x \), ограниченной прямыми \( x = 0 \), \( x = 1 \) и осью \( Oy \), вокруг оси \( Ox \).

Описание задачи:

Дан график изменения функции \( y = e^x \) на интервале \( x = [0, 1] \). Мы вращаем эту область вокруг оси \( Ox \) и необходимо вычислить объем тела, который получится в результате этого вращения.

Решение:

Чтобы вычислить объем тела вращения вокруг оси \( Ox \), можно воспользоваться формулой для объема тела вращения по методу дисков (или шайб):

\[ V = \pi \int_{a}^{b} y^2 \, dx \]

Шаг 1. Подставим выражение для функции \( y = e^x \):

Функция \( y = e^x \), отсюда:

\[ y^2 = (e^x)^2 = e^{2x} \]

Шаг 2. Подставим пределы интегрирования.

Область вращения ограничена \( x = 0 \) и \( x = 1 \). Теперь подставляем все в формулу для объема:

\[ V = \pi \int_{0}^{1} e^{2x} \, dx \]

Шаг 3. Найдем примитив функции \( e^{2x} \):

Для нахождения неопределенного интеграла от \( e^{2x} \) используем правило интегрирования экспоненциальных функций:

\[ \int e^{kx} \, dx = \frac{e^{kx}}{k} \], где \( k = 2 \).

Таким образом:

\[ \int e^{2x} \, dx = \frac{e^{2x}}{2} \]

Шаг 4. Вычислим определенный интеграл:

\[ V = \pi \left[ \frac{e^{2x}}{2} \right]_{0}^{1} \]

Подставляем пределы:

\[ V = \pi \left( \frac{e^{2}}{2} - \frac{e^{0}}{2} \right) \]

Так как \( e^{0} = 1 \), это упрощается до:

\[ V = \pi \left( \frac{e^{2}}{2} - \frac{1}{2} \right) \]

Шаг 5. Упростим выражение для объема:

Ответ:

Объем тела, полученного вращением кривой \( y = e^x \) вокруг оси \( Ox \), равен:

\[ V = \frac{\pi}{2} \left( e^2 - 1 \right) \]