Вычислить объем тела, полученного при вращении этой фигуры вокруг полярной оси

Предмет: Математика

Раздел: Интегральное исчисление. Вычисление объема тела вращения

Нам дано уравнение кривой в полярных координатах: \[ \rho = 2(1 + \cos \varphi) \] Мы должны вычислить объем тела, полученного при вращении этой фигуры вокруг полярной оси (оси \(OZ\)).

Шаг 1: Формула объема тела вращения

Объем тела, получаемого вращением кривой вокруг полярной оси, может быть вычислен по формуле (в полярных координатах): \[ V = \pi \int_{\varphi_1}^{\varphi_2} \left[\rho (\varphi)\right]^2 d\varphi \]

Шаг 2: Подстановка уравнения кривой

Подставляем \( \rho(\varphi) = 2(1 + \cos \varphi) \) в формулу объема: \[ V = \pi \int_{\varphi_1}^{\varphi_2} \left[2(1 + \cos \varphi)\right]^2 d\varphi \] \[ V = \pi \int_{\varphi_1}^{\varphi_2} 4(1 + \cos \varphi)^2 d\varphi \] \[ V = 4\pi \int_{\varphi_1}^{\varphi_2} (1 + 2\cos \varphi + \cos^2 \varphi) d\varphi \]

Шаг 3: Уточнение пределов интегрирования

Шаг 4: Вычисление интеграла

Теперь нужно вычислить интеграл: \[ V = 4\pi \int_0^{2\pi} (1 + 2\cos \varphi + \cos^2 \varphi) d\varphi \] Интегрируем три слагаемых по отдельности:

1. \[ \int_0^{2\pi} 1 d\varphi = 2\pi \]
2. \[ \int_0^{2\pi} 2\cos \varphi d\varphi = 0 \quad (\text{так как } \int_0^{2\pi} \cos \varphi d\varphi = 0) \]

3. \[ \int_0^{2\pi} \cos^2 \varphi d\varphi \] Используем тождество: \[ \cos^2 \varphi = \frac{1 + \cos 2\varphi}{2} \] Тогда: \[ \int_0^{2\pi} \cos^2 \varphi d\varphi = \int_0^{2\pi} \frac{1 + \cos 2\varphi}{2} d\varphi = \frac{1}{2} \int_0^{2\pi} 1 d\varphi + \frac{1}{2} \int_0^{2\pi} \cos 2\varphi d\varphi \] Поскольку \(\int_0^{2\pi} \cos 2\varphi d\varphi = 0\), остаётся: \[ \int_0^{2\pi} \cos^2 \varphi d\varphi = \frac{1}{2} \cdot 2\pi = \pi \]

Шаг 5: Окончательный ответ

Подставляем результаты в выражение для объема: \[ V = 4\pi \left(2\pi + 0 + \pi\right) = 4\pi \cdot 3\pi = 12\pi^2 \] Таким образом, объем тела, полученного вращением, равен: \[ \boxed{12\pi^2} \]

Уравнение \(\rho = 2(1 + \cos \varphi)\) описывает кардиоиду. Для одной замкнутой кардиоиды значения угла \(\varphi\) изменяются от \(\varphi = 0\) до \(\varphi = 2\pi\). Следовательно, пределы интегрирования: \(\varphi_1 = 0\), \(\varphi_2 = 2\pi\).