Вычислить объем тела, полученного при вращении этой фигуры вокруг полярной оси

Предмет: Математика
Раздел: Интегральное исчисление. Вычисление объема тела вращения

Нам дано уравнение кривой в полярных координатах: \[ρ=2(1+cosφ)\] Мы должны вычислить объем тела, полученного при вращении этой фигуры вокруг полярной оси (оси \(OZ\)).

Шаг 1: Формула объема тела вращения

Объем тела, получаемого вращением кривой вокруг полярной оси, может быть вычислен по формуле (в полярных координатах): \[V=πφ1φ2[ρ(φ)]2dφ\]

Шаг 2: Подстановка уравнения кривой

Подставляем \(ρ(φ)=2(1+cosφ)\) в формулу объема: \[V=πφ1φ2[2(1+cosφ)]2dφ\] \[V=πφ1φ24(1+cosφ)2dφ\] \[V=4πφ1φ2(1+2cosφ+cos2φ)dφ\]

Шаг 3: Уточнение пределов интегрирования
Шаг 4: Вычисление интеграла

Теперь нужно вычислить интеграл: \[V=4π02π(1+2cosφ+cos2φ)dφ\] Интегрируем три слагаемых по отдельности:

  1. \[02π1dφ=2π\]
  2. \[02π2cosφdφ=0(так как 02πcosφdφ=0)\]
  3. \[02πcos2φdφ\] Используем тождество: \[cos2φ=1+cos2φ2\] Тогда: \[02πcos2φdφ=02π1+cos2φ2dφ=1202π1dφ+1202πcos2φdφ\] Поскольку \(02πcos2φdφ=0\), остаётся: \[02πcos2φdφ=122π=π\]

Шаг 5: Окончательный ответ

Подставляем результаты в выражение для объема: \[V=4π(2π+0+π)=4π3π=12π2\] Таким образом, объем тела, полученного вращением, равен: \[12π2\]

Уравнение \(ρ=2(1+cosφ)\) описывает кардиоиду. Для одной замкнутой кардиоиды значения угла \(φ\) изменяются от \(φ=0\) до \(φ=2π\). Следовательно, пределы интегрирования: \(φ1=0\), \(φ2=2π\).

Не нашли нужного вам решения? Оставьте заявку и наши авторы быстро и качественно помогут вам с решением.
Оставить заявку
Работа вам нужна срочно. Не волнуйтесь, уложимся!

Узнайте стоимость работы онлайн

  • 22423 авторов готовы помочь тебе.
  • 2402 онлайн
Напишем БЕСПЛАТНО любую работу за 30 минут