Вычислить объем тела, полученного при вращении этой фигуры вокруг полярной оси

Предмет: Математика

Раздел: Интегральное исчисление. Вычисление объема тела вращения

Нам дано уравнение кривой в полярных координатах: $\text{[}\rho =2(1+\cos \phi )\text{]}$ Мы должны вычислить объем тела, полученного при вращении этой фигуры вокруг полярной оси (оси $\text{(}OZ\text{)}$).

Шаг 1: Формула объема тела вращения

Объем тела, получаемого вращением кривой вокруг полярной оси, может быть вычислен по формуле (в полярных координатах): $\text{[}V=\pi {\int }_{{\phi }_1}^{{\phi }_2}{[\rho (\phi )]}^{2}d\phi \text{]}$

Шаг 2: Подстановка уравнения кривой

Подставляем $\text{(}\rho (\phi )=2(1+\cos \phi )\text{)}$ в формулу объема: $\text{[}V=\pi {\int }_{{\phi }_1}^{{\phi }_2}{[2(1+\cos \phi )]}^{2}d\phi \text{]}$ $\text{[}V=\pi {\int }_{{\phi }_1}^{{\phi }_2}4(1+\cos \phi {)}^{2}d\phi \text{]}$ $\text{[}V=4\pi {\int }_{{\phi }_1}^{{\phi }_2}(1+2\cos \phi +{\cos }^2\phi )d\phi \text{]}$

Шаг 3: Уточнение пределов интегрирования

Шаг 4: Вычисление интеграла

Теперь нужно вычислить интеграл: $\text{[}V=4\pi {\int }_0^{2\pi }(1+2\cos \phi +{\cos }^2\phi )d\phi \text{]}$ Интегрируем три слагаемых по отдельности:

1. $\text{[}{\int }_0^{2\pi }1d\phi =2\pi \text{]}$
2. $\text{[}{\int }_0^{2\pi }2\cos \phi d\phi =0(\text{так как }{\int }_0^{2\pi }\cos \phi d\phi =0)\text{]}$

3. $\text{[}{\int }_0^{2\pi }{\cos }^2\phi d\phi \text{]}$ Используем тождество: $\text{[}{\cos }^2\phi =\frac{1+\cos 2\phi }{2}\text{]}$ Тогда: $\text{[}{\int }_0^{2\pi }{\cos }^2\phi d\phi ={\int }_0^{2\pi }\frac{1+\cos 2\phi }{2}d\phi =\frac{1}{2}{\int }_0^{2\pi }1d\phi +\frac{1}{2}{\int }_0^{2\pi }\cos 2\phi d\phi \text{]}$ Поскольку $\text{(}{\int }_0^{2\pi }\cos 2\phi d\phi =0\text{)}$, остаётся: $\text{[}{\int }_0^{2\pi }{\cos }^2\phi d\phi =\frac{1}{2}\cdot 2\pi =\pi \text{]}$

Шаг 5: Окончательный ответ

Подставляем результаты в выражение для объема: $\text{[}V=4\pi (2\pi +0+\pi )=4\pi \cdot 3\pi =12{\pi }^2\text{]}$ Таким образом, объем тела, полученного вращением, равен: $\text{[}\boxed{{\displaystyle 12{\pi }^2}}\text{]}$

Уравнение $\text{(}\rho =2(1+\cos \phi )\text{)}$ описывает кардиоиду. Для одной замкнутой кардиоиды значения угла $\text{(}\phi \text{)}$ изменяются от $\text{(}\phi =0\text{)}$ до $\text{(}\phi =2\pi \text{)}$. Следовательно, пределы интегрирования: $\text{(}{\phi }_1=0\text{)}$, $\text{(}{\phi }_2=2\pi \text{)}$.