Вычислить объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной графиками функций вокруг оси OY

Определение предмета и раздела

Предмет: Математика
Раздел: Интегральное исчисление, объемы тел вращения

Решение

Дано уравнение кривой:
2x^2 - 3y^2 = 1
и границы:
y = \pm 1.

Требуется найти объем тела, полученного вращением данной фигуры вокруг оси OY.

1. Выразим x^2 через y:

x^2 = \frac{3y^2 + 1}{2}.

Радиус вращения — это x(y), а объем вычисляется по формуле:
V = \pi \int_{a}^{b} R^2(y) dy.

Подставляем R(y) = \sqrt{\frac{3y^2 + 1}{2}}:
V = \pi \int_{-1}^{1} \left(\frac{3y^2 + 1}{2}\right) dy.

2. Вычислим интеграл

V = \frac{\pi}{2} \int_{-1}^{1} (3y^2 + 1) dy.

Вычисляем по частям:
\int (3y^2 + 1) dy = \int 3y^2 dy + \int 1 dy.

\int 3y^2 dy = y^3,
\int 1 dy = y.

Подставляем пределы интегрирования:
\left[ y^3 + y \right]_{-1}^{1} = (1^3 + 1) - ((-1)^3 + (-1)) = (1 + 1) - (-1 - 1) = 2 + 2 = 4.

3. Подставляем в формулу объема

V = \frac{\pi}{2} \times 4 = 2\pi.

Ответ:

V = 2\pi.