Вычислить объем тела, образованного вращениемвокруг оси Ox фигуры

Условие:

Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси Ox фигуры, расположенной в первом квадранте и ограниченной параболой, прямой и осью Ox

Решение:

Для начала нужно найти точки пересечения параболы \( y = 3x^2 \) и прямой \( y = -5x + 8 \). Для этого приравниваем правые части уравнений: \[ 3x^2 = -5x + 8 \] Переносим все на одну сторону для получения квадратного уравнения: \[ 3x^2 + 5x - 8 = 0 \] Решаем это квадратное уравнение, используя формулу корней квадратного уравнения: \[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] В нашем случае \( a = 3 \), \( b = 5 \), и \( c = -8 \), поэтому подставляем их в формулу: \[ x_{1,2} = \frac{-5 \pm \sqrt{5^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-8)}}{2 \cdot 3} \] \[ x_{1,2} = \frac{-5 \pm \sqrt{25 + 96}}{6} \] \[ x_{1,2} = \frac{-5 \pm \sqrt{121}}{6} \] \[ x_{1,2} = \frac{-5 \pm 11}{6} \] Итак, у нас есть два корня: \[ x_1 = \frac{6}{6} = 1 \] \[ x_2 = \frac{-16}{6} = -\frac{8}{3} \] Поскольку нас интересует только первый квадрант, то в рассмотрение берем только положительный корень, \( x_1 = 1 \). Теперь, когда у нас есть пределы интегрирования (от 0 до 1), можно вычислить объем тела вращения вокруг оси x. Объем тела вращения, образованного вращением кривой \( y = f(x) \) вокруг оси x на интервале [a, b], вычисляется по формуле: \[ V = \pi \int_{a}^{b} [f(x)]^2 dx \] В данном случае тело, ограниченное сверху параболой \( y = 3x^2 \), и снизу прямой \( y = -5x + 8 \), вращается вокруг оси x. Объем, образованный вращением вокруг оси x площади, заключенной между кривой \( y = 3x^2 \) и линией \( y = -5x + 8 \) на интервале от 0 до 1, будет равен разности объемов, созданных этими двумя функциями: \[ V = \pi \int_{0}^{1} \left[ (-5x + 8)^2 - (3x^2)^2 \right]dx \] Раскроем скобки и упростим выражение: \[ V = \pi \int_{0}^{1} \left[ 25x^2 - 80x + 64 - 9x^4 \right]dx \] Интегрируем почленно: \[ V = \pi \left[ \frac{25}{3}x^3 - 40x^2 + 64x - \frac{9}{5}x^5 \right]_{0}^{1} \] Подставляем пределы интегрирования: \[ V = \pi \left[ \left(\frac{25}{3} - 40 + 64 - \frac{9}{5}\right) - \left(0 - 0 + 0 - 0\right) \right] \] \[ V = \pi \left[ \frac{25}{3} - 40 + 64 - \frac{9}{5} \right