Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси Ох фигуры, ограниченной линиями х = 1,y =2e^2 y =2.

Задание относится к предмету математика, раздел интегральное исчисление.

Нас просят вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси \( x \) фигуры, ограниченной линиями \( x = 1 \), \( y = 2e^2 \) и \( y = 2 \). Для выполнения этого задания, применим метод цилиндрических оболочек. Формула для объема тела вращения вокруг оси \( x \) через цилиндрические оболочки, если функция задана в виде \( y = f(x) \), имеет вид: \[ V = \int_{a}^{b} \pi [f(x)]^2 dx \]

Сначала определим, какие границы нужно взять для интегрирования. У нас есть следующие ограничения:

1. \( x = 1 \)
2. \( y = 2 \)
3. \( y = 2e^2 \)

Функция, задающая линию вращения: \( y = f(x) = 2e^x \). Теперь найдем пределы интегрирования. Для \( y \) это \( 2 \leq y \leq 2e^2 \), но нам нужно выражать это в терминах \( x \). Найдем соответствующие значения \( x \) для \( y = 2 \) и \( y = 2e^2 \):

1. Для \( y = 2 \): \[ 2 = 2e^x \]\[ e^x = 1 \]\[ x = 0 \]
2. Для \( y = 2e^2 \): \[ 2e^2 = 2e^x \]\[ e^x = e^2 \]\[ x = 2 \]

Таким образом, \( x \) изменяется от 0 до 1. Так как у нас есть ограничение \( x = 1 \), пределы интегрирования будут: \[ x = 0 \text{ до } x = 1 \]

Теперь подставим это в формулу для объема: \[ V = \int_{0}^{1} \pi [2e^x]^2 dx \]

Упростим подынтегральное выражение: \[ [2e^x]^2 = 4e^{2x} \]

Теперь вычислим интеграл: \[ V = \int_{0}^{1} 4\pi e^{2x} dx \]

Следовательно: \[ V = 4\pi \int_{0}^{1} e^{2x} dx \]

Вычислим интеграл \( \int e^{2x} dx \): \[ \int e^{2x} dx = \frac{1}{2}e^{2x} + C \]

Теперь применим пределы интегрирования: \[ V = 4\pi \left[ \frac{1}{2}e^{2x} \right]_{0}^{1} \]

Подставим пределы: \[ V = 4\pi \left( \frac{1}{2}e^{2 \cdot 1} - \frac{1}{2}e^{2 \cdot 0} \right) \]

Упростим: \[ V = 4\pi \left( \frac{1}{2}e^{2} - \frac{1}{2} \right) \]\[ V = 4\pi \left( \frac{1}{2}(e^{2} - 1) \right) \]\[ V = 2\pi (e^{2} - 1) \]

Таким образом, объем тела, образованного вращением вокруг оси \( x \) фигуры, ограниченной линиями \( x = 1 \), \( y = 2e^2 \), \( y = 2 \), равен: \[ V = 2\pi (e^2 - 1) \]