Вычислить объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной графиками функций

Предмет: Математика

Раздел: Интегральное исчисление (Объемы тел вращения)

Необходимо вычислить объем тела, полученного вращением кривой ( y = 4\sin(3x) ) вокруг оси ( Ox ) на отрезке ( x \in [0, \pi/4] ).

Формула для вычисления объема тела вращения

Объем тела, образованного вращением графика функции ( y = f(x) ) вокруг оси ( Ox ), вычисляется по формуле:

 V = \pi \int_{a}^{b} [f(x)]^2 dx 

Подставляем данные из условия:

• ( f(x) = 4\sin(3x) )
• ( a = 0 ), ( b = \pi/4 )

Тогда объем равен:

 V = \pi \int_{0}^{\pi/4} [4\sin(3x)]^2 dx 

Вычисление интеграла

Раскрываем квадрат:

 V = \pi \int_{0}^{\pi/4} 16\sin^2(3x) dx 

Используем тригонометрическое тождество:

 \sin^2 A = \frac{1 - \cos 2A}{2} 

Применяем его к ( \sin^2(3x) ):

 \sin^2(3x) = \frac{1 - \cos(6x)}{2} 

Подставляем:

 V = \pi \int_{0}^{\pi/4} 16 \cdot \frac{1 - \cos(6x)}{2} dx 

 V = \pi \int_{0}^{\pi/4} 8(1 - \cos(6x)) dx 

Интегрируем:

 V = \pi \left[ 8x - 8 \frac{\sin(6x)}{6} \right]_{0}^{\pi/4} 

Подставляем пределы:

 V = \pi \left[ 8\frac{\pi}{4} - \frac{8}{6} \sin\left(\frac{6\pi}{4}\right) + 0 \right] 

Так как ( \sin(3\pi/2) = -1 ), то:

 V = \pi \left[ 2\pi + \frac{8}{6} \right] 

 V = \pi \left[ 2\pi + \frac{4}{3} \right] 

 V = 2\pi^2 + \frac{4\pi}{3} 

Таким образом, объем тела вращения:

 V = \frac{6\pi^2 + 4\pi}{3}