Вычислить объем тел, образованных вращением фигур, ограниченных графиками функций

Предмет: Математика
Раздел: Интегралы, Геометрические приложения определённого интеграла — объёмы тел вращения

Условие задачи:

Дана фигура, ограниченная графиками:

• y^2 = 4 - x
• x = 0

Ось вращения: ось Oy (ось y).
Нужно:

1. Построить чертёж
2. Вычислить объём тела, полученного вращением этой фигуры вокруг оси Oy.

Шаг 1: Анализ области

Уравнение y^2 = 4 - x можно переписать как: x = 4 - y^2

Это парабола, ветви которой направлены влево (в сторону уменьшения x), вершина в точке (x=4, y=0).

Также дано ограничение x = 0, то есть левая граница области — это ось Oy.

Таким образом, область вращения — это часть плоскости, заключённая между параболой x = 4 - y^2 и прямой x = 0.

Найдём границы по y: Из уравнения x = 4 - y^2 видно, что x = 0 при y^2 = 4 ⇒ y = \pm 2

Значит, область вращения по y: от y = -2 до y = 2

Шаг 2: Выбор метода

Так как вращение происходит вокруг оси Oy (ось y), а границы заданы в виде x = f(y), применим метод цилиндрических оболочек (или метод дисков по y).

В данном случае проще использовать метод дисков (или шайб), так как у нас тело вращается вокруг вертикальной оси и функция выражена как x = f(y).

Шаг 3: Формула объёма тела вращения вокруг оси Oy

Для вращения вокруг оси Oy, когда функция задана в виде x = f(y), объём вычисляется по формуле:

 V = \pi \int_{a}^{b} [R(y)]^2 \, dy 

где R(y) = f(y) — расстояние от оси вращения до точки на графике (то есть радиус диска)

Шаг 4: Подстановка в формулу

У нас:

• f(y) = 4 - y^2
• Пределы интегрирования: от -2 до 2

Тогда объём:

 V = \pi \int_{-2}^{2} (4 - y^2)^2 \, dy 

Шаг 5: Вычисление интеграла

Раскроем скобки:

 (4 - y^2)^2 = 16 - 8y^2 + y^4 

Теперь интеграл:

 V = \pi \int_{-2}^{2} (16 - 8y^2 + y^4) \, dy 

Поскольку подынтегральная функция чётная (все степени чётные), можно упростить:

 V = 2\pi \int_{0}^{2} (16 - 8y^2 + y^4) \, dy 

Вычислим:

 \int_{0}^{2} 16 \, dy = 16y \big|_0^2 = 32 

 \int_{0}^{2} 8y^2 \, dy = 8 \cdot \frac{y^3}{3} \big|_0^2 = 8 \cdot \frac{8}{3} = \frac{64}{3} 

 \int_{0}^{2} y^4 \, dy = \frac{y^5}{5} \big|_0^2 = \frac{32}{5} 

Теперь подставим:

 V = 2\pi \left( 32 - \frac{64}{3} + \frac{32}{5} \right) 

Приведём к общему знаменателю:

 32 = \frac{480}{15}, \quad \frac{64}{3} = \frac{320}{15}, \quad \frac{32}{5} = \frac{96}{15} 

 V = 2\pi \left( \frac{480 - 320 + 96}{15} \right) = 2\pi \cdot \frac{256}{15} = \frac{512\pi}{15} 

Ответ:

V = \frac{512\pi}{15} — объём тела, полученного вращением фигуры вокруг оси Oy.

Чертёж:

На чертеже нужно изобразить:

• Параболу x = 4 - y^2 (ветви влево)
• Прямую x = 0 (ось Oy)
• Область между ними от y = -2 до y = 2
• Показать, что эта область вращается вокруг оси Oy

Если хочешь, я могу описать, как построить этот график вручную или с помощью Python/Desmos.