Вычислить объем фигуры вращения (вокруг оси ox), ограниченной линиями

Задание относится к разделу математики, конкретно к интегральному исчислению и вычислению объёмов тел вращения.

Для того чтобы вычислить объем фигуры вращения вокруг оси \(ox\), ограниченной линией \(y = x e^{-x}\) на промежутке \(0 < x < +\infty\), воспользуемся методом вращения вокруг оси. Объем тела вращения \(V\) можно найти по формуле:

\[ V = \pi \int_a^b y^2 dx \] Где \(y = x e^{-x}\), а \(a = 0\) и \(b = +\infty\). Возведем функцию \(y\) в квадрат:

\[ y^2 = (x e^{-x})^2 = x^2 e^{-2x} \] Подставим это в формулу для объема:

\[ V = \pi \int_0^{\infty} x^2 e^{-2x} dx \] Теперь нужно вычислить этот интеграл. Для этого воспользуемся интегралом вида:

\[ \int_0^{\infty} x^n e^{-ax} dx = \frac{n!}{a^{n+1}} \] В нашем случае \(n = 2\) и \(a = 2\). Таким образом:

\[ \int_0^{\infty} x^2 e^{-2x} dx = \frac{2!}{2^{2+1}} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4} \] Подставим это значение в формулу для объема:

\[ V = \pi \cdot \frac{1}{4} = \frac{\pi}{4} \] Таким образом, объем фигуры вращения вокруг оси \(ox\), ограниченной линией \(y = x e^{-x}\) на промежутке \(0 < x < +\infty\), равен \(\frac{\pi}{4}\).