Вычислить объем фигуры вращения (вокруг оси ox), ограниченной линиями

Задание относится к разделу математики, конкретно к интегральному исчислению и вычислению объёмов тел вращения.

Для того чтобы вычислить объем фигуры вращения вокруг оси $\text{(}ox\text{)}$, ограниченной линией $\text{(}y=x{e}^{-x}\text{)}$ на промежутке $\text{(}0<x<+\mathrm{\infty }\text{)}$, воспользуемся методом вращения вокруг оси. Объем тела вращения $\text{(}V\text{)}$ можно найти по формуле:

$\text{[}V=\pi {\int }_a^b{y}^{2}dx\text{]}$Где $\text{(}y=x{e}^{-x}\text{)}$, а $\text{(}a=0\text{)}$ и $\text{(}b=+\mathrm{\infty }\text{)}$. Возведем функцию $\text{(}y\text{)}$ в квадрат:

$\text{[}{y}^2=(x{e}^{-x}{)}^2=x^2{e}^{-2x}\text{]}$Подставим это в формулу для объема:

$\text{[}V=\pi {\int }_0^{\mathrm{\infty }}{x}^2{e}^{-2x}dx\text{]}$Теперь нужно вычислить этот интеграл. Для этого воспользуемся интегралом вида:

$\text{[}{\int }_0^{\mathrm{\infty }}{x}^n{e}^{-ax}dx=\frac{n!}{a^{n+1}}\text{]}$В нашем случае $\text{(}n=2\text{)}$ и $\text{(}a=2\text{)}$. Таким образом:

$\text{[}{\int }_0^{\mathrm{\infty }}{x}^2{e}^{-2x}dx=\frac{2!}{2^{2+1}}=\frac{2}{8}=\frac{1}{4}\text{]}$Подставим это значение в формулу для объема:

$\text{[}V=\pi \cdot \frac{1}{4}=\frac{\pi }{4}\text{]}$Таким образом, объем фигуры вращения вокруг оси $\text{(}ox\text{)}$, ограниченной линией $\text{(}y=x{e}^{-x}\text{)}$ на промежутке $\text{(}0<x<+\mathrm{\infty }\text{)}$, равен $\text{(}\frac{\pi }{4}\text{)}$.