Вычислить объем фигуры вращения ограниченной линиями

Прежде чем начать решение задания, необходимо определить предмет и раздел предмета, к которому оно относится. Предмет: Математика Раздел: Интегральное исчисление, Объём тел вращения Теперь приступим к решению задачи.

Шаг 1: Определение точек пересечения графиков

Функции, ограничивающие фигуру:

\[ y = x^4 \] \[ y = x^{1/4} \]

Для определения точек пересечения приравниваем уравнения:

\[ x^4 = x^{1/4} \]

Решим это уравнение:

\[ x^4 = x^{1/4} \]

Возьмём натуральный логарифм от обеих частей, чтобы упростить выражение:

\[ \ln(x^4) = \ln(x^{1/4}) \] \[ 4 \ln(x) = \frac{1}{4} \ln(x) \]

Чтобы решить уравнение удобно использовать преобразование:

\[ 4 \ln(x) = \frac{1}{4} \ln(x) \]

Возьмём обе части уравнения к одной стороне и сложим:

\[ 4 \ln(x) - \frac{1}{4} \ln(x) = 0 \] \[ \left(\frac{16}{4} - \frac{1}{4}\right) \ln(x) = 0 \] \[ \frac{15}{4} \ln(x) = 0 \]

Так, \( \ln(x) = 0 \) когда \( x = 1 \). Разделим на оба стороны когда несколько корней или проверить дополнительные уровни.

\[ x = 0 \]

Таким образом, точки пересечения: \( x = 0 \) и \( x = 1 \).

Шаг 2: Выбор метода нахождения объёма

Используем метод вращения вокруг оси \( x \). Для вычисления объёма необходимы верхняя и нижняя функции на отрезке \( [0, 1] \):

• Верхняя: \( y = x^{1/4} \)
• Нижняя: \( y = x^4 \)

Объем фигуры вращения определяется через интегралы. Формула для вычисления объема тела вращения функции \( y = f(x) \) вокруг оси \( x \) такова:

\[ V = \pi \int_{a}^{b} ( [f(x)]^2 - [g(x)]^2 ) \, dx \]

Шаг 3: Применение формулы

Подставим функции \( f \) и \( g \), интервалы от \( x = 0 \) до \( x = 1 \):

\[ V = \pi \int_{0}^{1} ((x^{1/4})^2 - (x^4)^2) \, dx \]

Выразим выражение под интегралом:

\[ V = \pi \int_{0}^{1} (x^{1/2} - x^8) \, dx \]

Шаг 4: Вычисление интеграла

Рассчитаем каждый член интеграла отдельно:

\[ \int_{0}^{1} x^{1/2} \, dx \] \[ \int_{0}^{1} x^8 \, dx \]

Для первого интеграла:

\[ \int x^{1/2} \, dx = \frac{x^{1/2 + 1}}{1/2 + 1} + C = \frac{x^{3/2}}{3/2} = \frac{2/3} x^{3/2} + C \]

для второго интеграла:

\[ \int x^8 \, dx = \frac{x^{8 + 1}}{8 + 1} + C = \frac{x^9}/9 + C \]

Подставим пределы интегрирования \( 0 \) и \( 1 \):

\[ \left[ \frac{2/3} x^{3/2} \right]_0^1 - \left[ \frac{x^9}/9 \right]_0^1 \]

Вычисления:

\[ \left( \frac{2/3} \cdot 1^{3/2} - \frac{2/3} \cdot 0^{3/2} \right) - \left( \frac{1^9}/9 - \frac{0^9}/9 \right) = \frac{2/3} - \frac{1/9} \]

Шаг 5: Приведение к общему знаменателю и вычисление результата

Общий знаменатель \( 9 \):

\[ \frac{2/3} = \frac{6/9} \] \[ \frac{6/9} - \frac{1/9} = \frac{5/9} \]

Таким образом:

\[ V = \pi \cdot \frac{5/9} = \frac{5\pi}/9 \]

Окончательный результат

Объем фигуры вращения, ограниченной линиями \( y = x^4 \) и \( y = x^{1/4} \) при вращении вокруг оси \( x \), равен:

\[ V = \frac{5\pi}/9 \]