Данное задание относится к разделу математического анализа, а именно к теме вычисления несобственных интегралов с помощью метода вычетов. Чтобы вычислить данный интеграл с помощью вычетов, нужно:
-
Рассмотреть комплексное продолжение функции: заменим
\( \cos x \) на
\( \text{Re}(e^{ix}) \) и выразить интеграл в комплексной плоскости.
-
Исходный интеграл можно рассматривать как часть контурного интеграла. Рассмотрим интеграл от комплексной функции
\( f(z) = \frac{z^2 e^{iz}}{(z^2 + 1)^2} \)
вдоль контура, который состоит из отрезка по вещественной оси и верхней полуокружности радиуса
\( R \).
-
Находим полюса функции. Функция имеет полюсы в точках
\( i \) и
\( -i \) порядка 2. В верхней полуплоскости находится полюс при
\( z = i \).
-
Вычислите вычет функции в полюсе
\( z = i \): Вычет в полюсе второго порядка вычисляется как:
\[ \text{Res}(f, i) = \lim_{z \to i} \frac{d}{dz} \left( (z-i)^2 f(z) \right) \]
Вычислив производную, получим вычет.
-
По теореме Коши-Гурса интеграл вдоль замкнутого контура равен
\( 2\pi i \) умноженному на сумму вычетов внутри контура.
-
Показать, что вклад интеграла по окружности стремится к нулю при
\( R \to \infty \).
-
Таким образом, интеграл на вещественной оси от 0 до бесконечности равен
\( \pi \) умноженному на вещественную часть вычета, найденного в пункте 4.
Эти шаги приводят к вычислению исходного несобственного интеграла. Точный вычет можно получить, выполнив алгебраические вычисления, которые включают подстановки и производные.