Задание относится к предмету "Математика", раздел "Интегралы"

Рассмотрим вычисление несобственного интеграла либо установим его расходимость: \[ \int_{0}^{\pi/2} \cot(x) dx \] В данном случае \(\cot(x)\) становится бесконечным при \(\x = 0\), что требует особого подхода к вычислению.

Запишем определение несобственного интеграла: \[ \int_{0}^{\pi/2} \cot(x) dx = \lim_{\epsilon \to 0} \int_{\epsilon}^{\pi/2} \cot(x) dx \]

Выполним замену и вычислим интеграл:

\[ \int_{\epsilon}^{\pi/2} \cot(x) dx \]

Мы знаем, что \(\cot(x) = \frac{\cos(x)}{\sin(x)}\). Таким образом: \[ \int_{\epsilon}^{\pi/2} \frac{\cos(x)}{\sin(x)} dx \]

Выполним замену переменной: \(u = \sin(x)\). Тогда \(du = \cos(x) dx\) и границы интегрирования меняются: при \(x = \epsilon\), \(u = \sin(\epsilon)\); при \(x = \pi/2\), \(u = 1\).

\[ \int_{\sin(\epsilon)}^{1} \frac{1}{u} du \]

Интеграл \(\frac{1}{u}\) равен \(\ln|u|\):

\[ \int_{\sin(\epsilon)}^{1} \frac{1}{u} du = \left. \ln|u| \right|_{\sin(\epsilon)}^{1} \]

Подставим границы интегрирования: \[ \ln(1) - \ln(\sin(\epsilon)) = 0 - \ln(\sin(\epsilon)) = -\ln(\sin(\epsilon)) \]

Теперь рассмотрим предел при \(\epsilon \to 0\): \[ \lim_{\epsilon \to 0} -\ln(\sin(\epsilon)) \]

Мы знаем, что \(\sin(\epsilon) \approx \epsilon\) при \(\epsilon \to 0\). Таким образом: \[ \lim_{\epsilon \to 0} -\ln(\epsilon) \]

\(\ln(\epsilon) \to -\infty\) при \(\epsilon \to 0\), следовательно, \-ln(\epsilon) \to \infty\). Итак, интеграл расходится: \[ \int_{0}^{\pi/2} \cot(x) dx \quad \text{расходится} \]