Задание относится к предмету "Математика", раздел "Интегралы"

Рассмотрим вычисление несобственного интеграла либо установим его расходимость: $\text{[}{\int }_0^{\pi /2}\cot (x)dx\text{]}$ В данном случае $\text{(}\cot (x)\text{)}$ становится бесконечным при $\text{(}\text{x}=0\text{)}$, что требует особого подхода к вычислению.

Запишем определение несобственного интеграла: $\text{[}{\int }_0^{\pi /2}\cot (x)dx=\underset{ϵ\to 0}{lim}{\int }_{ϵ}^{\pi /2}\cot (x)dx\text{]}$

Выполним замену и вычислим интеграл:

$\text{[}{\int }_{ϵ}^{\pi /2}\cot (x)dx\text{]}$

Мы знаем, что $\text{(}\cot (x)=\frac{\cos (x)}{\sin (x)}\text{)}$. Таким образом: $\text{[}{\int }_{ϵ}^{\pi /2}\frac{\cos (x)}{\sin (x)}dx\text{]}$

Выполним замену переменной: $\text{(}u=\sin (x)\text{)}$. Тогда $\text{(}du=\cos (x)dx\text{)}$ и границы интегрирования меняются: при $\text{(}x=ϵ\text{)}$, $\text{(}u=\sin (ϵ)\text{)}$; при $\text{(}x=\pi /2\text{)}$, $\text{(}u=1\text{)}$.

$\text{[}{\int }_{\sin (ϵ)}^1\frac{1}{u}du\text{]}$

Интеграл $\text{(}\frac{1}{u}\text{)}$ равен $\text{(}\ln |u|\text{)}$:

$\text{[}{\int }_{\sin (ϵ)}^1\frac{1}{u}du={\ln |u||}_{\sin (ϵ)}^1\text{]}$

Подставим границы интегрирования: $\text{[}\ln (1)-\ln (\sin (ϵ))=0-\ln (\sin (ϵ))=-\ln (\sin (ϵ))\text{]}$

Теперь рассмотрим предел при $\text{(}ϵ\to 0\text{)}$: $\text{[}\underset{ϵ\to 0}{lim}-\ln (\sin (ϵ))\text{]}$

Мы знаем, что $\text{(}\sin (ϵ)\approx ϵ\text{)}$ при $\text{(}ϵ\to 0\text{)}$. Таким образом: $\text{[}\underset{ϵ\to 0}{lim}-\ln (ϵ)\text{]}$

$\text{(}\ln (ϵ)\to -\mathrm{\infty }\text{)}$ при $\text{(}ϵ\to 0\text{)}$, следовательно, $\text{-}ln(ϵ)\to \mathrm{\infty }\text{)}$. Итак, интеграл расходится: $\text{[}{\int }_0^{\pi /2}\cot (x)dx\text{расходится}\text{]}$