Вычислить несобственный интеграл илиустановить его расходимость

Условие:

Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость.

Решение:

Этот интеграл является несобственным интегралом второго рода, поскольку верхний предел интегрирования стремится к бесконечности. Попробуем вычислить этот интеграл или определить, сходится он или расходится. Интеграл имеет вид: \[ \int_{5}^{\infty} \frac{dx}{x \ln x} \] Чтобы вычислить данный интеграл, обычно используют признак сравнения или признаки сходимости для несобственных интегралов. Чтобы применить признак сравнения, надо найти функцию, которая проста для интегрирования и похожа на подынтегральную функцию, и которая дает интеграл, сходимость которого известна. Функция \( \frac{1}{x \ln x} \) убывает на интервале от 5 до \(\infty\), что делает ее хорошим кандидатом для признака сравнения. Основное наблюдение здесь состоит в том, что интеграл от функции, сравнимой с \( \frac{1}{x^p} \) при \( p > 1 \), сходится, а при \( p \leq 1 \) - расходится. Можно сравнить подынтегральную функцию \( \frac{1}{x \ln x} \) с функцией \( \frac{1}{x^p} \) для некоторого \( p > 1 \). Очевидно, что \( \ln x \) растет при \( x \to \infty \), и поэтому \( \frac{1}{x \ln x} \) будет меньше, чем \( \frac{1}{x^p} \), для достаточно больших \( x \), и интеграл будет сходиться. Однако, чтобы точно установить сходимость, проведем вычисление интеграла более формально. Чтобы сделать это, обратим внимание, что \( \ln x \) является хорошей переменной для подстановки, так как ее производная \( \frac{1}{x} \) присутствует в подынтегральном выражении. Сделаем замену переменных: \( u = \ln x \) \( du = \frac{1}{x} dx \) \( x = e^u \) \( dx = e^u du \) Теперь изменяем пределы интегрирования: Когда \( x = 5 \): \( u = \ln 5 \) Когда \( x \to \infty \): \( u \to \infty \) Тогда интеграл примет вид: \[ \int_{\ln 5}^{\infty} \frac{e^u du}{e^u u} = \int_{\ln 5}^{\infty} \frac{du}{u} \] Это интеграл от \( \frac{1}{u} \), который равен \( \ln|u| \). Таким образом, интеграл от \(\ln 5\) до \(\infty\) будет: \[ \lim_{b \to \infty}\left[ \ln|u| \right]_{\ln 5}^{b} = \lim_{b \to \infty}(\ln b - \ln \ln 5) \] Этот предел стремится к бесконечности, потому что логарифмическая функция бесконечно растет при \( u \to \infty \). Следовательно, несобственный интеграл расходится.