Вычислить несобственный интеграл или доказать его расходимость

Задание представляет собой пример из математики, а именно из раздела математического анализа, который занимается несобственными интегралами.

Мы видим несобственный интеграл от функции (ln(x))^2 / x по интервалу от 2 до бесконечности. Чтобы вычислить такой интеграл, необходимо взять предел определённого интеграла от 2 до t функции (ln(x))^2 / x при t стремящемся к бесконечности. Часто такие интегралы оцениваются с помощью признаков сравнения или иных методов, чтобы определить, сходится ли интеграл или нет. Давайте попробуем вычислить данный интеграл или установить его расходимость.

1. Сначала выразим интеграл как предел определённого интеграла при стремлении верхнего предела к бесконечности: \[\int_{2}^{\infty} \frac{(ln(x))^2}{x} dx = \lim_{t \to \infty} \int_{2}^{t} \frac{(ln(x))^2}{x} dx\]
2. Для вычисления интеграла применим метод интегрирования по частям. Для этого нам потребуется выбрать u и dv так, чтобы было удобно вычислить du и v. Мы можем выбрать u = (ln(x))^2 и dv = 1/x dx, тогда du = 2(ln(x))/x dx и v = ln(x).
3. Применяем метод интегрирования по частям: \[\int u dv = uv - \int v du\]
4. Вычисляем у нас u = (ln(x))^2 и v = ln(x): \[uv = (ln(x))^2 \cdot ln(x)\] \[\int v du = \int ln(x) \cdot \frac{2 ln(x)}{x} dx\] Этот последний интеграл может быть более сложным для вычисления, и может потребовать дополнительного интегрирования по частям или использования других методов. Однако на этом этапе обратим внимание на суть задачи: мы должны или вычислить данный интеграл, или доказать его расходимость. В данном случае может быть проще показать, что интеграл расходится. Учитывая, что подынтегральная функция положительна и монотонно убывает к нулю, можно рассмотреть поведение подынтегральной функции при x стремящемся к бесконечности: \[\frac{(ln(x))^2}{x}\] Так как (ln(x))^2 растёт медленнее, чем x, интуитивно можно предположить, что интеграл сходится. Однако для точного доказательства необходимо провести более строгий анализ или вычисление. При более детальном рассмотрении, мы можем использовать признак сравнения интегралов: если интеграл от функции (ln(x))^p/x, где p > 1, сходится, то наш интеграл также будет сходиться, так как 2 > 1. В данном случае, мы знаем, что интеграл от функции (ln(x))^p/x сходится для p > 1, таким образом, интеграл \[\int_{2}^{\infty} \frac{(ln(x))^2}{x} dx\] сходится.
5. Чтобы найти точное значение интеграла, придется возвратиться к вычислениям и использовать подходящие методы. Это может быть сложный процесс, требующий как интегрирование по частям, так и возможно иные методы вычислений.