Вычислить несобственный интеграл

Этот пример относится к интегральному исчислению, разделу математического анализа. Мы вычисляем несобственный интеграл от функции. Давайте решим этот интеграл: \[ \int_{3}^{+\infty} \frac{dx}{3x^2 + 27x + 42} \]

1. Разложение на простейшие дроби:

Прежде чем найти интеграл, мы разложим знаменатель на множители. Рассматриваем функцию \[ 3x^2 + 27x + 42 \] Разделим все на 3 для упрощения: \[ x^2 + 9x + 14 \] Эта квадратная функция может быть разложена на множители: \[ x^2 + 9x + 14 = (x + 7)(x + 2) \] Итак, знаменатель можно представить как: \[ 3(x + 7)(x + 2) \] Теперь, наша интегральная функция приобретает вид: \[ \frac{1}{3} \int_{3}^{+\infty} \frac{dx}{(x + 7)(x + 2)} \]

2. Разложение на простейшие дроби:

Разложим дробь на простейшие дроби: \[ \frac{1}{(x + 7)(x + 2)} = \frac{A}{x + 7} + \frac{B}{x + 2} \] Умножим всё на \( (x + 7)(x + 2) \), чтобы избавиться от знаменателей: \[ 1 = A(x + 2) + B(x + 7) \] Рассматриваем значения \( x \) и подбираем \( A \) и \( B \):

• Для \( x = -2 \): \[ 1 = A \cdot 0 + B(-2 + 7) \] \[ B = \frac{1}{5} \]
• Для \( x = -7 \): \[ 1 = A(-7 + 2) + B \cdot 0 \] \[ A = -\frac{1}{5} \]

Теперь наша интегральная функция: \[ \frac{1}{3} \int_{3}^{+\infty} \left( -\frac{1}{5(x + 7)} + \frac{1}{5(x + 2)} \right) dx \]

3. Выполнение интегрирования:

Интегрируем каждую часть отдельно: \[ \frac{1}{3} \left( -\frac{1}{5} \int_{3}^{+\infty} \frac{dx}{x + 7} + \frac{1}{5} \int_{3}^{+\infty} \frac{dx}{x + 2} \right) \] Результаты известных интегралов: \[ \int \frac{dx}{x + a} = \ln |x + a| + C \] Применение предела: \[ \frac{1}{3} \left[ -\frac{1}{5} (\ln |x + 7| \big|_{3}^{+\infty}) + \frac{1}{5} (\ln |x + 2| \big|_{3}^{+\infty}) \right] \]

4. Оценка пределов:

Для \( x \to \infty \): \[ \ln |x + a| \big|_{x \to \infty} \to \infty \] \[ \left( -\frac{1}{5} (\ln |x + 7| \big|_{3}^{+\infty}) + \frac{1}{5} (\ln |x + 2| \big|_{3}^{+\infty}) \right) \] \[ = \left( -\frac{1}{5} (\ln |7 + 3|) + \frac{1/5} (\ln |2 + 3|) \right) \] \[ = \left( -\frac{1}{5} \ln 10 + \frac{1}{5} \ln 5 \right) \] \[ = \frac{1}{5} (\ln 5 - \ln 10) \] \[ = \frac{1}{5} (\ln \frac{5}{10}) \] \[ = \frac{1}{5} (\ln \frac{1}{2}) \] \[ = -\frac{1}{5} \ln 2 \]

Конечный результат: \[ \boxed{\frac{-1}{15} \ln 2} \] Следовательно, значение этого интеграла: \[ \boxed{\frac{-1}{15} \ln 2} \]