Вычислить несобственные интегралы

Это задание относится к предмету «Математика», раздел «Интегральное исчисление».

Требуется вычислить несобственный интеграл от функции:

∫[0, ∞) (cos x) / (x^2 + 9) dx.

Для вычисления этого интеграла рассмотрим использование метода интегрирования по частям и свойств несобственных интегралов.

1. Определение типа несобственного интеграла:

Данный интеграл является несобственным по верхнему пределу, так как область интегрирования идет до бесконечности.

2. Применение интегрирования по частям:

Мы можем использовать метод интегрирования по частям, который основывается на формуле:

∫ u dv = uv - ∫ v du

Выберем:

• u = cos(x), тогда du = -sin(x) dx
• dv = 1/(x^2 + 9) dx, тогда найдем v.

3. Найдем v:

Определим разложение функции 1/(x^2 + 9) как производную арктангенса. Обратно дифференцируем:

v = ∫ 1/(x^2 + 9) dx = 1/3 arctan(x/3)

4. Применение формулы интегрирования по частям:

∫[0, ∞) cos(x)/(x^2 + 9) dx = [cos(x) * (1/3) arctan(x/3)] (от 0 до ∞) + ∫[0, ∞) (1/3) arctan(x/3) * sin(x) dx

Поскольку cos(x) ограничена и стремится к 0 при x → ∞, первый член обнуляется.

Остается интеграл от второго слагаемого, который тоже будет конечным, однако сложность его выражения требует численных методов для вычисления точного значения.

Таким образом, точное аналитическое нахождение значения этого интеграла предполагает сложные подходы, и в этом решении можно использовать численные методы для приближенного значения.