Вычислить неопределённый интеграл методом интегрирования по частям

Это задание по математике, раздел - интегралы или математический анализ.

Нужно вычислить неопределённый интеграл вида: $\text{[}\int x\cos (2-x)dx\text{]}$ Для решения данного интеграла удобно использовать метод интегрирования по частям. Формула интегрирования по частям выглядит следующим образом: $\text{[}\int udv=uv-\int vdu\text{]}$ Для этого интеграла следует провести подстановку:

• $\text{(}u=x\text{)}$, тогда $\text{(}du=dx\text{)}$
• $\text{(}dv=\cos (2-x)dx\text{)}$, тогда нужно найти $\text{(}v\text{)}$

Теперь найдём $\text{(}v\text{)}$: $\text{[}dv=\cos (2-x)dx\text{]}$ Чтобы найти $\text{(}v\text{)}$, нужно преобразовать это выражение. Воспользуемся обратной подстановкой. Пусть $\text{(}w=2-x\text{)}$ (так как производная от $\text{(}w\text{)}$ равна $\text{(}-dx\text{)}$). Тогда: $\text{[}dv=\cos (w)(-dw)=-\cos (w)dw\text{]}$ Интегрируя это выражение, получаем: $\text{[}v=-\sin (w)\text{]}$ Преобразуем $\text{(}v\text{)}$ обратно: $\text{[}v=-\sin (2-x)\text{]}$

Теперь подставим всё в формулу интегрирования по частям: $\text{[}\int x\cos (2-x)dx=x(-\sin (2-x))-\int (-\sin (2-x))dx\text{]}$ $\text{[}=-x\sin (2-x)+\int \sin (2-x)dx\text{]}$ Теперь вычислим оставшийся интеграл: $\text{[}\int \sin (2-x)dx\text{]}$ Опять проведем подстановку $\text{(}w=2-x\text{)}$, тогда $\text{(}dw=-dx\text{)}$, соответственно: $\text{[}\int \sin (2-x)dx=\int \sin (w)(-dw)=-\int \sin (w)dw\text{]}$ Интегрируем: $\text{[}=-(-\cos (w))=\cos (w)\text{]}$ Преобразуем обратную подстановку: $\text{[}\int \sin (2-x)dx=\cos (2-x)\text{]}$

Таким образом, итоговое выражение становится: $\text{[}-x\sin (2-x)+\cos (2-x)+C\text{]}$ где $\text{(}C\text{)}$ — произвольная постоянная. Следовательно, найден неопределённый интеграл: $\text{[}\int x\cos (2-x)dx=-x\sin (2-x)+\cos (2-x)+C\text{]}$