Вычислить неопределённый интеграл методом интегрирования по частям

Это задание по математике, раздел - интегралы или математический анализ.

Нужно вычислить неопределённый интеграл вида: \[ \int x \cos(2 - x) \, dx \] Для решения данного интеграла удобно использовать метод интегрирования по частям. Формула интегрирования по частям выглядит следующим образом: \[ \int u \, dv = uv - \int v \, du \] Для этого интеграла следует провести подстановку:

• \( u = x \), тогда \( du = dx \)
• \( dv = \cos(2 - x) \, dx \), тогда нужно найти \( v \)

Теперь найдём \( v \): \[ dv = \cos(2 - x) \, dx \] Чтобы найти \( v \), нужно преобразовать это выражение. Воспользуемся обратной подстановкой. Пусть \( w = 2 - x \) (так как производная от \( w \) равна \( - dx \)). Тогда: \[ dv = \cos(w)(-dw) = -\cos(w) \, dw \] Интегрируя это выражение, получаем: \[ v = -\sin(w) \] Преобразуем \( v \) обратно: \[ v = -\sin(2 - x) \]

Теперь подставим всё в формулу интегрирования по частям: \[ \int x \cos(2 - x) \, dx = x(-\sin(2 - x)) - \int (-\sin(2 - x)) \, dx \] \[ = -x \sin(2 - x) + \int \sin(2 - x) \, dx \] Теперь вычислим оставшийся интеграл: \[ \int \sin(2 - x) \, dx \] Опять проведем подстановку \( w = 2 - x \), тогда \( dw = -dx \), соответственно: \[ \int \sin(2 - x) \, dx = \int \sin(w)(-dw) = - \int \sin(w) \, dw \] Интегрируем: \[ = - (-\cos(w)) = \cos(w) \] Преобразуем обратную подстановку: \[ \int \sin(2 - x) \, dx = \cos(2 - x) \]

Таким образом, итоговое выражение становится: \[ -x \sin(2 - x) + \cos(2 - x) + C \] где \( C \) — произвольная постоянная. Следовательно, найден неопределённый интеграл: \[ \int x \cos(2 - x) \, dx = -x \sin(2 - x) + \cos(2 - x) + C \]