Работа вам нужна срочно. Не волнуйтесь, уложимся!
Заполните, пожалуйста, данные для автора:
- 22423 авторов готовы помочь тебе.
- 2402 онлайн
Вычислить неопределённый интеграл
Условие:
Решение:
Предмет: Математика (Высшая математика)
Раздел: Интегралы
Задание: Вычислить неопределённый интеграл \(\int \frac{5x \, dx}{\sqrt{3 - 5x^2}}\).
Шаг 1: Упрощение интеграла
Обозначим \( u = 3 - 5x^2 \). Тогда производная функций \( u \) по \( x \) равняется: \[ \frac{du}{dx} = -10x \] Отсюда: \[ du = -10x \, dx \quad \text{или} \quad x \, dx = -\frac{1}{10} du \]Шаг 2: Замена переменных
Теперь подставим \( u \) и \( du \): \[ \int \frac{5x \, dx}{\sqrt{3 - 5x^2}} = \int \frac{5x \, dx}{\sqrt{u}} \] Замена переменных даёт: \[ = 5 \int \frac{x \, dx}{\sqrt{u}} \] Теперь применим найденную замену \( x \, dx = -\frac{1}{10} du \): \[ = 5 \int \frac{-\frac{1}{10} du}{\sqrt{u}} = -\frac{5}{10} \int \frac{du}{\sqrt{u}} = -\frac{1}{2} \int u^{-\frac{1}{2}} \, du \]Шаг 3: Интегрирование
\[ \int u^{-\frac{1}{2}} \, du \] Пользуемся формулой интегрирования \( \int u^n \, du = \frac{u^{n+1}}{n+1} \): \[ = -\frac{1}{2} \cdot \frac{u^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}} = -u^{\frac{1}{2}} + C = -\sqrt{u} + C \]Шаг 4: Возвращение к переменной \( x \)
Теперь возвращаемся к переменной \( x \), где \( u = 3 - 5x^2 \): \[ = -\sqrt{3 - 5x^2} + C \]Ответ:
\[ \int \frac{5x \, dx}{\sqrt{3 - 5x^2}} = -\sqrt{3 - 5x^2} + C \] Таким образом, решение задачи подробно разобрано.
Не нашли нужного вам решения? Оставьте заявку и наши авторы быстро и качественно помогут вам с решением.
Оставить заявку