Вычислить неопределенный интеграл

Предмет: Высшая математика (раздел «Интегральное исчисление»)

Шаг 1: Постановка задачи

Дано:
\[\int 10(2x - 1)^qdx,\]
где \(q\) — нечетное число. Наша цель — найти неопределенный интеграл в общем виде.

Шаг 2: Внутренняя замена переменной

Поскольку у нас выражение \( (2x - 1)^q \) под знаком интеграла, попробуем использовать замену переменной. Пусть:
\[ u = 2x - 1, \]
Отсюда находим производную \(u\) по \(x\):
\[ du = 2dx \quad \Rightarrow \quad dx = \frac{du}{2}. \]

Шаг 3: Перепишем интеграл через переменную \( u \)

Теперь перепишем исходный интеграл с новой переменной:
\[ \int 10(2x - 1)^q dx = \int 10u^q \cdot \frac{du}{2}. \]
Упростим множители:
\[ \int 10u^q \cdot \frac{du}{2} = 5 \int u^q du. \]

Шаг 4: Интегрирование простого степенного выражения

Мы получили стандартный интеграл степенной функции:
\[ 5 \int u^q du = 5 \cdot \frac{u^{q+1}}{q+1} + C, \]
где \(C\) — постоянная интегрирования.

Шаг 5: Возвращение к переменной \(x\)

Теперь подставим обратно замену \(u = 2x - 1\):
\[ 5 \cdot \frac{(2x - 1)^{q + 1}}{q + 1} + C. \]

Окончательный ответ

Таким образом, общий вид решения интеграла:
\[ \int 10(2x - 1)^qdx = \frac{5(2x - 1)^{q+1}}{q+1} + C, \]
где \(q\) — нечетное число, и \(C\) — постоянная интегрирования.

Задание: Вычислить неопределенный интеграл \(\int 10(2x - 1)^q dx\), где \(q\) — нечетное число.