Вычислить неопределенные интегралы от тригонометрических функций

Данное задание относится к предмету "Математика", разделу "Интегральное исчисление", подразделу "Вычисление неопределенных интегралов", и тема - "Интегрирование тригонометрических функций".

Для вычисления данного интеграла: \[ \int \frac{\cos 5x}{1 + \sin 5x} \, dx \] воспользуемся подстановкой. Положим: \[ u = \sin 5x \]

Тогда производная функции \( \sin 5x \) равна: \[ \frac{d(\sin 5x)}{dx} = 5 \cos 5x \] отсюда: \[ \cos 5x \, dx = \frac{1}{5} du \]

Таким образом, наш интеграл переписывается в виде: \[ \int \frac{\cos 5x \, dx}{1 + \sin 5x} = \int \frac{\frac{1}{5} du}{1 + u} \] Упростим: \[ \frac{1}{5} \int \frac{du}{1 + u} \]

Этот интеграл является стандартным и вычисляется как натуральный логарифм: \[ \frac{1}{5} \int \frac{1}{1+u} \, du = \frac{1}{5} \ln |1+u| + C \] где \( C \) - произвольная постоянная интегрирования.

Возвращаемся к нашей подстановке \( u = \sin 5x \): \[ \frac{1}{5} \ln |1 + \sin 5x| + C \]

Таким образом, окончательный ответ будет: \[ \int \frac{\cos 5x}{1 + \sin 5x} \, dx = \frac{1}{5} \ln |1 + \sin 5x| + C \]