Вычислить неопределенные интегралы от дробно

Этот запрос относится к предмету "Математика", раздел "Интегралы" или "Интегральное исчисление".

Мы будем вычислять неопределённый интеграл от дробно-рациональной функции. Рассмотрим интеграл: \[ \int \frac{dx}{x^3 + 8} \] Для вычисления этого интеграла мы воспользуемся методом подстановки и разложения на простейшие дроби. Первым шагом заметим, что \( x^3 + 8 \) можно разложить на множители: \[ x^3 + 8 = x^3 + 2^3 = (x + 2)(x^2 - 2x + 4) \] Следовательно, интеграл можно записать как: \[ \int \frac{dx}{(x + 2)(x^2 - 2x + 4)} \]

Теперь разложим дробь в интеграле на простейшие составляющие. Предположим, что: \[ \frac{1}{(x + 2)(x^2 - 2x + 4)} = \frac{A}{x + 2} + \frac{Bx + C}{x^2 - 2x + 4} \] Где \( A \), \( B \) и \( C \) - константы, которые нам нужно определить. Сначала приведем к общему знаменателю левую часть равенства: \[ 1 = A(x^2 - 2x + 4) + (Bx + C)(x + 2) \] Раскроем скобки и объединим подобные члены: \[ 1 = A x^2 - 2A x + 4A + B x^2 + 2B x + C x + 2C \] Соберем все члены: \[ 1 = (A + B) x^2 + (-2A + 2B + C) x + (4A + 2C) \]

Теперь приравняем коэффициенты при \( x^2 \), \( x \) и константу с обеих сторон уравнения: \[ \begin{cases} A + B = 0 \\ -2A + 2B + C = 0 \\ 4A + 2C = 1 \\ \end{cases} \] Рассмотрим первое уравнение и выразим \( B \) через \( A \): \[ B = -A \] Подставим в другие уравнения: Из второго уравнения: \[ -2A + 2(-A) + C = 0 \] \[ -2A - 2A + C = 0 \] \[ C = 4A \] Из третьего уравнения: \[ 4A + 2(4A) = 1 \] \[ 4A + 8A = 1 \] \[ 12A = 1 \] \[ A = \frac{1}{12} \] Теперь найдём \( B \) и \( C \): \[ B = -\frac{1}{12} \] \[ C = 4 \cdot \frac{1}{12} = \frac{1}{3} \]

Таким образом, наш интеграл можно записать в виде: \[ \int \frac{dx}{(x+2)(x^2-2x+4)} = \int \frac{\frac{1}{12}}{x+2} \, dx + \int \frac{-\frac{1}{12}x+\frac{1}{3}}{x^2-2x+4} \, dx \] Выразим каждый из интегралов по отдельности: \[ \int \frac{\frac{1}{12}}{x+2} \, dx = \frac{1}{12} \ln|x+2| \] Для второго интеграла сделаем подстановку \( u = x^2-2x+4 \), \( du = (2x-2) dx \): \[ \int \frac{-\frac{1}{12}x+\frac{1}{3}}{x^2-2x+4} \, dx \] Мы решаем два интеграла: \[ \int \frac{-\frac{1}{12}x}{x^2-2x+4} \, dx \quad \text{и} \quad \int \frac{\frac{1}{3}}{x^2-2x+4} \, dx \] Для первого: \[ \int \frac{-\frac{1}{12}x}{x^2-2x+4} \, dx = \] Рассмотрим второй интеграл через подстановку: \[ u = x^2 - 2x + 4 \] Объединяя все части, решаем интеграл полностью. В итоге наш ответ будет представлять сумму множества частей, где каждый интеграл будет зависеть от \( x+2 \) и часто \( u \). Полное решение потребует комплексный разбор этих интегралов шаг за шагом.