Вычислить не определенные интегралы

Предмет: Математика
Раздел: Математический анализ — Неопределённые интегралы

Нам нужно вычислить неопределённый интеграл:

 \int (2x - 5) \cos(4x) \, dx 

Шаг 1: Метод интегрирования

Это интеграл от произведения многочлена и тригонометрической функции. Применим метод интегрирования по частям:

Формула интегрирования по частям:  \int u \, dv = uv - \int v \, du 

Выберем:

• u = 2x - 5 → тогда du = 2 \, dx
• dv = \cos(4x) \, dx → тогда v = \frac{1}{4} \sin(4x)

Шаг 2: Подставим в формулу

 \int (2x - 5) \cos(4x) \, dx = (2x - 5) \cdot \frac{1}{4} \sin(4x) - \int \frac{1}{4} \sin(4x) \cdot 2 \, dx 

Упростим:  = \frac{1}{4}(2x - 5)\sin(4x) - \frac{1}{2} \int \sin(4x) \, dx 

Шаг 3: Вычислим оставшийся интеграл

 \int \sin(4x) \, dx = -\frac{1}{4} \cos(4x) 

Подставим:  \frac{1}{4}(2x - 5)\sin(4x) - \frac{1}{2} \cdot \left( -\frac{1}{4} \cos(4x) \right) = \frac{1}{4}(2x - 5)\sin(4x) + \frac{1}{8} \cos(4x) 

Ответ:

 \int (2x - 5) \cos(4x) \, dx = \frac{1}{4}(2x - 5)\sin(4x) + \frac{1}{8} \cos(4x) + C 

где C — произвольная постоянная интегрирования.