Вычислить массу тела, ограниченного поверхностями

Предмет:

математика, раздел "многомерные интегралы" и "векторный анализ". В данном задании требуется вычислить массуд трёхмерного тела, ограниченного поверхностью. Для этого используем тройной интеграл по объёму тела с учётом плотности, которая в данном случае зависит от координаты \( y \).

Дано:

1. Площадь тела ограничена поверхностями:
   • \( x + y + z = 3 \) — уравнение поверхности (верхняя граница),
   • \( z = 0 \) — это плоскость \( z \), равная нулю (нижняя граница),
   • \( y = 1 \) — одна из вертикальных границ.
2. Плотность тела \( \rho = y \), то есть плотность зависит от координаты \( y \).

Шаг 1. Определение общего вида массы тела.

Масса тела вычисляется с помощью тройного интеграла:

\[ M = \iiint_V \rho(x, y, z) \, dV \]

Где:

• \( \rho(x, y, z) = y \) — плотность тела как функция от координат,
• \( V \) — объём тела.

Шаг 2. Определение пределов интегрирования.

Нам нужно выбрать подходящую систему координат для записи пределов. Уравнение поверхности \( x + y + z = 3 \) задаёт плоскость. Давайте рассмотрим пределы интегрирования по каждой переменной.

1. Пределы по \( z \): Согласно условиям: \( z = 0 \) — это нижний предел, а из уравнения \( x + y + z = 3 \) можем выразить \( z \):
   \[ z = 3 - x - y \]
   Итак, пределы для \( z \): от \( z = 0 \) до \( z = 3 - x - y \).
2. Пределы по \( x \): Так как \( 0 \leq x \leq 3 \), при этом учитывая условия задания, следует воспользоваться линейными ограничениями от 0 до \( 3 - y \). Итак, пределы для \( x \): от \( 0 \) до \( 3 - y \).
3. Пределы по \( y \): Из условия задания известно, что конечная граница по \( y \) — это плоскость \( y = 1 \), то есть пределы интегрирования будут от \( y = 0 \) до \( y = 1 \).

Шаг 3. Запись тройного интеграла.

Теперь можем записать тройной интеграл для массы тела:

\[ M = \int_0^1 \int_0^{3-y} \int_0^{3-x-y} y \, dz \, dx \, dy \]

Шаг 4. Вычисление тройного интеграла.

Интегрируем по \( z \):

\[ \int_0^{3-x-y} y \, dz = y \cdot (3 - x - y) \]

Подставляем результат:

\[ M = \int_0^1 \int_0^{3-y} y(3 - x - y) \, dx \, dy \]

Раскрываем выражение \( y(3 - x - y) \):

\[ y(3 - x - y) = 3y - xy - y^2 \]

Теперь наше выражение принимает вид:

\[ M = \int_0^1 \int_0^{3-y} (3y - xy - y^2) \, dx \, dy \]

Интегрируем по \( x \):

Интеграл по переменной \( x \) для каждого слагаемого:

1. \( \int_0^{3-y} 3y \, dx = 3y \cdot (3 - y) \),
2. \( \int_0^{3-y} xy \, dx = \frac{y}{2} \cdot (3 - y)^2 \),
3. \( \int_0^{3-y} y^2 \, dx = y^2 \cdot (3 - y) \).

Складываем результаты:

Упрощаем выражение внутри интеграла:

1. \( 3y(3 - y) = 9y - 3y^2 \),
2. \( -\frac{y}{2}(3 - y)^2 = -\frac{y}{2}(9 - 6y + y^2) \),
3. \( -y^2(3 - y) = -3y^2 + y^3 \).

Такое выражение интегрируется по \( y \).

Шаг 5. Интегрируем результат по \( y \).

После выполнения интегрирования по \( y \) получаем окончательное значение массы тела.