Вычислить массу пластинки, ограниченной следующими условиями

Задание:

Нужно вычислить массу пластинки \( D \), ограниченной следующими условиями:

1. Кругами \( x^2 + y^2 = 4 \) и \( x^2 + y^2 = 9 \);
2. Квадрантом \( x \leq 0 \) и \( y \geq 0 \);
3. Поверхностная плотность дана формулой: \(\mu = \frac{y - 2x}{x^2 + y^2}\).

Определение предмета и раздела:

Это задание из математического анализа, раздел кратные интегралы и вычисление массы распределённых систем.

Шаг 1. Описание области интегрирования

Область \( D \) ограничивается двумя окружностями:

• Окружность радиуса 2: \( x^2 + y^2 = 4 \);
• Окружность радиуса 3: \( x^2 + y^2 = 9 \).

Также указано, что \( x \leq 0 \) и \( y \geq 0 \), что соответствует области, находящейся в левом верхнем квадранте. То есть пластинка находится в границах:

1. Радиус: от \( r = 2 \) до \( r = 3 \) (так как \( r = \sqrt{x^2 + y^2} \));
2. Угол: \( \theta \) находится в пределах \( \pi/2 \leq \theta \leq \pi \).

Шаг 2. Переход к полярным координатам

В полярных координатах:

\[ x = r \cos \theta, \quad y = r \sin \theta. \]

Также:

\[ x^2 + y^2 = r^2. \]

Плотность в полярных координатах:

\[ \mu = \frac{y - 2x}{x^2 + y^2} = \frac{r \sin \theta - 2r \cos \theta}{r^2} = \frac{\sin \theta - 2 \cos \theta}{r}. \]

Шаг 3. Формула для массы

Массу пластинки можно найти как двойной интеграл от поверхностной плотности по области \( D \). Формула для массы:

\[ M = \iint_D \mu(x, y) \, dA. \]

В полярных координатах \( dA = r \, dr \, d\theta \), поэтому:

\[ M = \int_{\pi/2}^{\pi} \int_2^3 \mu(r, \theta) r \, dr \, d\theta. \]

Подставляем плотность:

\[ M = \int_{\pi/2}^{\pi} \int_2^3 \left( \frac{\sin \theta - 2 \cos \theta}{r} \right) r \, dr \, d\theta. \]

Упрощаем выражение:

\[ M = \int_{\pi/2}^{\pi} \int_2^3 (\sin \theta - 2 \cos \theta) \, dr \, d\theta. \]

Внутренний интеграл по \( r \):

\[ \int_2^3 (\sin \theta - 2 \cos \theta) \, dr = (\sin \theta - 2 \cos \theta) \cdot (3 - 2) = \sin \theta - 2 \cos \theta. \]

Теперь остаётся внешний интеграл:

\[ M = \int_{\pi/2}^{\pi} (\sin \theta - 2 \cos \theta) \, d\theta. \]

Интегрируем по \( \theta \):

\[ \int_{\pi/2}^{\pi} \sin \theta \, d\theta = -\cos \theta \Big|_{\pi/2}^{\pi} = -(-1) - (-0) = 1, \]

\[ \int_{\pi/2}^{\pi} \cos \theta \, d\theta = \sin \theta \Big|_{\pi/2}^{\pi} = 0 - 1 = -1. \]

Теперь рассчитываем итог:

\[ M = 1 - 2(-1) = 1 + 2 = 3. \]

Ответ:

Масса пластинки \ M = 3 \.