Задание №6: Предмет: Высшая математика. Раздел: Линейные интегралы.
Требуется вычислить линейный интеграл: \[ \oint_{\Gamma} x \ln y \, dx - y \ln x \, dy \] вдоль периметра квадрата, образованного прямыми \( x = 1; x = 2; y = 1; y = 2 \) в положительном направлении (по часовой стрелке или против часовой стрелки в зависимости от начальных условий).
Описание шага решения
1. Краткая информация про линейный интеграл.
Этот интеграл — это линейный интеграл второго рода. При вычислении его значения следует закрепить путь интегрирования, по которому нужно пройти. В нашем случае путь — это квадрат, его ограничивающими сторонами \( x = 1; x = 2; y = 1; y = 2 \). Также важно следить за правильной ориентацией (в нашем случае — положительное направление, likely против часовой стрелки, начиная с одной из сторон квадрата).
2. Установление пути интегрирования.
- Верхняя сторона квадрата: \( x = [1, 2], y = 2 \)
- Правая сторона: \( x = 2, y = [1, 2] \)
- Нижняя сторона квадрата: \( x = [2, 1], y = 1 \)
- Левая сторона: \( x = 1, y = [1, 2] \)
3. Интегрирование по каждой из сторон.
- (1) Верхняя сторона: \( y = 2 \), \( x \in [1, 2] \), \( dy = 0 \)
Выражение: \[ \int_1^2 (x \ln 2)\, dx \]
Так как при \( y = 2 \) \( dy = 0 \), у нас остается только первый член. Вычислим этот интеграл: \[ \int_1^2 x \ln 2 \, dx = \ln(2) \cdot \int_1^2 x \, dx \]
Интеграл от \( x \) даст: \[ \ln(2) \cdot \left[ \frac{x^2}{2} \right]_1^2 = \ln(2) \cdot \left(\frac{4}{2} - \frac{1}{2}\right) = \ln(2) \cdot \frac{3}{2}. \]
- (2) Правая сторона: \( x = 2 \), \( y \in [1, 2] \), \( dx = 0 \)
Выражение: \[ \int_1^2 - y \ln 2 \, dy \]
Так как \( dx = 0 \), остается только второй член. Вычисляем интеграл: \[ -\ln 2 \cdot \int_1^2 y \, dy = -\ln 2 \cdot \left[\frac{y^2}{2}\right]_1^2 = -\ln 2 \cdot \left(\frac{4}{2} - \frac{1}{2}\right) = -\ln 2 \cdot \frac{3/2}. \]
- (3) Нижняя сторона (обратное направление): \( y = 1 \), \( x \in [2, 1] \), \( dy = 0 \)
Здесь интеграл возьмем с обратным знаком, так как \( dx = -dx \): \[ -\int_2^1 (x \ln 1) \, dx = 0. \]
Так как \( \ln(1) = 0 \), этот интеграл равен нулю.
- (4) Левая сторона (обратное направление): \( x = 1 \), \( y \in [2, 1] \), \( dx = 0 \)
Интеграл: \[ -\int_2^1 - y \ln 1 \, dy = 0. \]
Опять же, так как \( \ln(1) = 0 \), этот интеграл равен нулю.
4. Итоговый результат:
Результаты с первой и второй стороны складываются, оба равны \( \frac{3}{2} \ln 2 \), но с противоположными знаками. Таким образом: \[ \frac{3}{2} \ln 2 - \frac{3}{2} \ln 2 = 0. \]