Вычислить криволинейный интеграл второго рода вдоль дуги кривой

Главная
Высшая математика
Интегралы
Вычислить криволинейный интеграл второго рода вдоль дуги кривой

Предмет: Математика (Математический анализ).

Раздел: Криволинейные интегралы.

Задача: Вычислить криволинейный интеграл второго рода вдоль дуги кривой $$y = x^{2} $$ от точки $$A (0, 0) $$ до точки $$B (1, 1) $$ .

Формулировка выражения: $\[\int_{A B} ((x - 2 y) d x + (x + y) d y) \]$ где кривая $$A B $$ задана уравнением $$y = x^{2} $$ , с началом в точке $$A (0, 0) $$ и концом в точке $$B (1, 1) $$ .

Этап 1: Параметризация кривой

Так как кривая задана уравнением

\(y = x^{2} \)

, очевидно, что

\(y \)

зависит от

\(x \)

. Поэтому параметризация получится следующей:

\[y = x^{2}, \]

где

\(x \)

изменяется от 0 до 1:

\(x \in [0, 1] \)

. Из этого дифференцируем значение

\(y \)

\[d y = \frac{d}{d x} (x^{2}) d x = 2 x d x . \]

Этап 2: Подстановка в интеграл

Теперь подставим

\(y = x^{2} \)

\(d y = 2 x d x \)

в исходный интеграл:

\[\int_{0}^{1} [(x - 2 y) d x + (x + y) d y] \]

Подставляем параметры:

\[\int_{0}^{1} [(x - 2 x^{2}) d x + (x + x^{2}) \cdot (2 x d x)] \]

Раскроем скобки:

\[\int_{0}^{1} [(x - 2 x^{2}) d x + (2 x^{2} + 2 x^{3}) d x] \]

Теперь объединим все под одним интегралом:

\[\int_{0}^{1} [x - 2 x^{2} + 2 x^{2} + 2 x^{3}] d x = \int_{0}^{1} [x + 2 x^{3}] d x \]

Этап 3: Вычисление интеграла

Рассчитаем каждый член интеграла: 1.

\[\int_{0}^{1} x d x = {[\frac{x^{2}}{2}]}_{0}^{1} = \frac{1^{2}}{2} - 0 = \frac{1}{2} \]

\[\int_{0}^{1} 2 x^{3} d x = 2 \int_{0}^{1} x^{3} d x = 2 \cdot {[\frac{x^{4}}{4}]}_{0}^{1} = 2 \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{2} \]

Этап 4: Подведение итога

Теперь сложим результаты:

\[\frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1 \]

Ответ:

\(1 \)

. Таким образом, значение криволинейного интеграла равно 1.

Работа вам нужна срочно. Не волнуйтесь, уложимся!

22423 авторов готовы помочь тебе.
2402 онлайн

Время — это деньги!

Вычислить криволинейный интеграл второго рода вдоль дуги кривой

Предмет: Математика (Математический анализ).

Раздел: Криволинейные интегралы.

Задача: Вычислить криволинейный интеграл второго рода вдоль дуги кривой $\(y = x^{2} \)$ от точки $\(A (0, 0) \)$ до точки $\(B (1, 1) \)$ .

Формулировка выражения: $\[\int_{A B} ((x - 2 y) d x + (x + y) d y) \]$ где кривая $\(A B \)$ задана уравнением $\(y = x^{2} \)$ , с началом в точке $\(A (0, 0) \)$ и концом в точке $\(B (1, 1) \)$ .

Этап 1: Параметризация кривой

Этап 2: Подстановка в интеграл

Этап 3: Вычисление интеграла

Этап 4: Подведение итога

Работа вам нужна срочно. Не волнуйтесь, уложимся!

Виды работ:

Время — это деньги!

Вычислить криволинейный интеграл второго рода вдоль дуги кривой

Предмет: Математика (Математический анализ).

Раздел: Криволинейные интегралы.

Задача: Вычислить криволинейный интеграл второго рода вдоль дуги кривой \(y=x2\) от точки \(A(0,0)\) до точки \(B(1,1)\).

Формулировка выражения: \[∫AB((x−2y)dx+(x+y)dy)\] где кривая \(AB\) задана уравнением \(y=x2\), с началом в точке \(A(0,0)\) и концом в точке \(B(1,1)\).

Этап 1: Параметризация кривой

Этап 2: Подстановка в интеграл

Этап 3: Вычисление интеграла

Этап 4: Подведение итога

Работа вам нужна срочно. Не волнуйтесь, уложимся!

Виды работ:

Задача: Вычислить криволинейный интеграл второго рода вдоль дуги кривой $\(y = x^{2} \)$ от точки $\(A (0, 0) \)$ до точки $\(B (1, 1) \)$ .

Формулировка выражения: $\[\int_{A B} ((x - 2 y) d x + (x + y) d y) \]$ где кривая $\(A B \)$ задана уравнением $\(y = x^{2} \)$ , с началом в точке $\(A (0, 0) \)$ и концом в точке $\(B (1, 1) \)$ .