Предмет: Математика (Математический анализ).
Раздел: Криволинейные интегралы.
Задача: Вычислить криволинейный интеграл второго рода вдоль дуги кривой \( y = x^2 \) от точки \( A(0,0) \) до точки \( B(1,1) \).
Формулировка выражения: \[ \int_{AB} \left( (x - 2y) \, dx + (x + y) \, dy \right) \] где кривая \( AB \) задана уравнением \( y = x^2 \), с началом в точке \( A(0,0) \) и концом в точке \( B(1,1) \).
Этап 1: Параметризация кривой
Так как кривая задана уравнением \( y = x^2 \), очевидно, что \( y \) зависит от \( x \). Поэтому параметризация получится следующей: \[ y = x^2, \] где \( x \) изменяется от 0 до 1: \( x \in [0, 1] \). Из этого дифференцируем значение \( y \): \[ dy = \frac{d}{dx}(x^2) \, dx = 2x \, dx. \]
Этап 2: Подстановка в интеграл
Теперь подставим \( y = x^2 \) и \( dy = 2x \, dx \) в исходный интеграл:
\[ \int_{0}^{1} \left[ (x - 2y) \, dx + (x + y) \, dy \right] \]
Подставляем параметры:
\[ \int_{0}^{1} \left[ (x - 2x^2) \, dx + (x + x^2) \cdot (2x \, dx) \right] \]
Раскроем скобки:
\[ \int_{0}^{1} \left[ (x - 2x^2) \, dx + (2x^2 + 2x^3) \, dx \right] \]
Теперь объединим все под одним интегралом:
\[ \int_{0}^{1} \left[ x - 2x^2 + 2x^2 + 2x^3 \right] \, dx = \int_{0}^{1} \left[ x + 2x^3 \right] \, dx \]
Этап 3: Вычисление интеграла
Рассчитаем каждый член интеграла:
1. \[ \int_{0}^{1} x \, dx = \left[ \frac{x^2}{2} \right]_0^1 = \frac{1^2}{2} - 0 = \frac{1}{2} \]
2. \[ \int_{0}^{1} 2x^3 \, dx = 2 \int_{0}^{1} x^3 \, dx = 2 \cdot \left[ \frac{x^4}{4} \right]_0^1 = 2 \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{2} \]
Этап 4: Подведение итога
Теперь сложим результаты:
\[ \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1 \]
Ответ: \( \boxed{1} \). Таким образом, значение криволинейного интеграла равно 1.