Вычислить криволинейный интеграл по длине дуги корень из x^2+y^2 dl, где l: r=2cosf , -pi/2<=f<=pi/2

Задание: Вычислить криволинейный интеграл по длине дуги для функции $\text{(}f(x,y)=\sqrt{x^2+y^2}\text{)}$ вдоль кривой $\text{(}r=2\cos (\phi )\text{)}$, где $\text{(}-\frac{\pi }{2}\le \phi \le \frac{\pi }{2}\text{)}$.

Предмет: Высшая математика.

Раздел: Криволинейные интегралы и координаты в полярной системе.

Решение:

1. Запишем условие задачи: Нужно вычислить криволинейный интеграл типа $\text{[}{\int }_C\sqrt{x^2+y^2}dl\text{]}$ вдоль кривой $\text{(}C\text{)}$, заданной в полярных координатах как $\text{(}r=2\cos \phi \text{)}$, где $\text{(}\phi \text{)}$ изменяется от $\text{(}-\frac{\pi }{2}\text{)}$ до $\text{(}\frac{\pi }{2}\text{)}$.
2. Перевод функции под интегралом в полярные координаты: В полярных координатах выполняются следующие связи: $\text{[}x=r\cos \phi ,y=r\sin \phi \text{]}$ и $\text{[}\sqrt{x^2+y^2}=r,\text{]}$ где $\text{(}r\text{)}$ — радиус-вектор точки в полярных координатах. Таким образом, под интегралом функция $\text{(}\sqrt{x^2+y^2}\text{)}$ в полярных координатах просто равна $\text{(}r\text{)}$.
3. Элемент длины дуги в полярных координатах: Элемент длины $\text{(}dl\text{)}$ в полярных координатах выражается как: $\text{[}dl=\sqrt{r^2+{\left(\frac{dr}{d\phi }\right)}^2}d\phi \text{]}$ где $\text{[}r=2\cos \phi \text{и}\frac{dr}{d\phi }=-2\sin \phi .\text{]}$ Тогда элемент длины дуги будет: $\text{[}dl=\sqrt{{(2\cos \phi )}^2+{(-2\sin \phi )}^2}d\phi =\sqrt{4{\cos }^2\phi +4{\sin }^2\phi }d\phi .\text{]}$ Используя основное тригонометрическое тождество $\text{(}{\cos }^2\phi +{\sin }^2\phi =1\text{)}$, мы упрощаем: $\text{[}dl=\sqrt{4}d\phi =2d\phi .\text{]}$
4. Запишем интеграл: Теперь мы можем записать интеграл в полярной системе координат: $\text{[}{\int }_C\sqrt{x^2+y^2}dl={\int }_{-\frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}}r\cdot dl={\int }_{-\frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}}(2\cos \phi )\cdot 2d\phi .\text{]}$ Упростим: $\text{[}{\int }_{-\frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}}4\cos \phi d\phi .\text{]}$
5. Вычисление интеграла: Стандартный интеграл от косинуса: $\text{[}\int \cos \phi d\phi =\sin \phi .\text{]}$ Поэтому для нашего интеграла имеем: $\text{[}{\int }_{-\frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}}4\cos \phi d\phi =4{[\sin \phi ]}_{-\frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}}=4(\sin \frac{\pi }{2}-\sin (-\frac{\pi }{2})).\text{]}$ Подставляем значения синуса: $\text{[}\sin \frac{\pi }{2}=1,\sin (-\frac{\pi }{2})=-1,\text{]}$ и получаем: $\text{[}=4(1-(-1))=4\cdot 2=8.\text{]}$

Ответ: Криволинейный интеграл равен $\text{(}8\text{)}$.