Условие:
вычислить криволинейный интеграл по длине дуги корень из x^2+y^2 dl, где l: r=2cosf , -pi/2<=f<=pi/2
Решение:
Задание: Вычислить криволинейный интеграл по длине дуги для функции \( f(x, y) = \sqrt{x^2 + y^2} \) вдоль кривой \( r = 2\cos(\varphi) \), где \( -\frac{\pi}{2} \leq \varphi \leq \frac{\pi}{2} \).
Предмет: Высшая математика.
Раздел: Криволинейные интегралы и координаты в полярной системе.
Решение:
- Запишем условие задачи: Нужно вычислить криволинейный интеграл типа \[ \int_C \sqrt{x^2 + y^2} \, dl \] вдоль кривой \( C \), заданной в полярных координатах как \( r = 2\cos\varphi \), где \( \varphi \) изменяется от \( -\frac{\pi}{2} \) до \( \frac{\pi}{2} \).
- Перевод функции под интегралом в полярные координаты: В полярных координатах выполняются следующие связи: \[ x = r\cos \varphi, \quad y = r\sin \varphi \] и \[ \sqrt{x^2 + y^2} = r, \] где \( r \) — радиус-вектор точки в полярных координатах. Таким образом, под интегралом функция \( \sqrt{x^2 + y^2} \) в полярных координатах просто равна \( r \).
- Элемент длины дуги в полярных координатах: Элемент длины \( dl \) в полярных координатах выражается как: \[ dl = \sqrt{r^2 + \left( \frac{dr}{d\varphi} \right)^2} \, d\varphi \] где \[ r = 2\cos\varphi \quad \text{и} \quad \frac{dr}{d\varphi} = -2\sin\varphi. \] Тогда элемент длины дуги будет: \[ dl = \sqrt{\left(2\cos\varphi\right)^2 + \left(-2\sin\varphi\right)^2} \, d\varphi = \sqrt{4\cos^2\varphi + 4\sin^2\varphi} \, d\varphi. \] Используя основное тригонометрическое тождество \( \cos^2\varphi + \sin^2\varphi = 1 \), мы упрощаем: \[ dl = \sqrt{4} \, d\varphi = 2 \, d\varphi. \]
- Запишем интеграл: Теперь мы можем записать интеграл в полярной системе координат: \[ \int_C \sqrt{x^2 + y^2} \, dl = \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} r \cdot dl = \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \left( 2\cos\varphi \right) \cdot 2 \, d\varphi. \] Упростим: \[ \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} 4\cos\varphi \, d\varphi. \]
- Вычисление интеграла: Стандартный интеграл от косинуса: \[ \int \cos\varphi \, d\varphi = \sin\varphi. \] Поэтому для нашего интеграла имеем: \[ \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} 4\cos\varphi \, d\varphi = 4\left[\sin\varphi\right]_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} = 4\left(\sin\frac{\pi}{2} - \sin\left(-\frac{\pi}{2}\right)\right). \] Подставляем значения синуса: \[ \sin\frac{\pi}{2} = 1, \quad \sin\left(-\frac{\pi}{2}\right) = -1, \] и получаем: \[ = 4(1 - (-1)) = 4 \cdot 2 = 8. \]
Ответ: Криволинейный интеграл равен \( 8 \).