Вычислить криволинейный интеграл по длине дуги

Задача принадлежит области высшей математики и касается вычисления криволинейных интегралов.

1. Вычислить криволинейный интеграл:

\[ \int_{L} 2y \, dl ,\] где \( L : x = \frac{t^2}{2}, y = t, 0 \leq t \leq 1 \).

Для выполнения этого интеграла необходимо следовать выделенному пути.

Шаг 1: Параметризация кривой

Кривая задана параметрически: \[ x = \frac{t^2}{2}, \quad y = t, \quad 0 \leq t \leq 1. \]

Шаг 2: Вычисление элемента длины дуги \(dl\)

Элемент длины дуги \( dl \) в параметрической форме вычисляется как: \[ dl = \sqrt{\left( \frac{dx}{dt} \right)^2 + \left( \frac{dy}{dt} \right)^2} \, dt. \]

Находим производные: \[ \frac{dx}{dt} = t, \quad \frac{dy}{dt} = 1. \]

Затем вычисляем \(dl\): \[ dl = \sqrt{t^2 + 1^2} \, dt = \sqrt{t^2 + 1} \, dt. \]

Шаг 3: Запись интеграла в параметрической форме

Подставим элемент длины дуги и параметризацию \(y\) в интеграл: \[ \int_{L} 2y \, dl = \int_{0}^{1} 2t \sqrt{t^2 + 1} \, dt. \]

Шаг 4: Вычисление интеграла

Для интегрирования: \[ u = t^2 + 1 \implies du = 2t \, dt, \quad t = 0 \implies u = 1, \quad t = 1 \implies u = 2.\]

Интеграл переписывается как: \[ \int_{1}^{2} \sqrt{u} \, du. \]

Выполним интегрирование: \[ \int \sqrt{u} \, du = \int u^{1/2} \, du = \frac{2}{3} u^{3/2}. \]

Подставим пределы интегрирования: \[ \left. \frac{2}{3} u^{3/2} \right|_{1}^{2} = \frac{2}{3} \left( 2^{3/2} - 1^{3/2} \right) = \frac{2}{3} \left( 2\sqrt{2} - 1 \right). \]

Итак, значение интеграла: \[ \int_{L} 2y \, dl = \frac{2}{3} \left( 2\sqrt{2} - 1 \right). \]

2. Вычислить интеграл

\[ \int_{L} \left( x^2 + 2xy \right) dx - \left( 3x^2 - y + 1 \right) dy, \] где \( L: y = 2 - x^2 \), от точки (-1,1) до точки (1, 1).

Шаг 1: Параметризация кривой

Кривая задана параметрически: \[ y = 2 - x^2, \quad x \in [-1, 1]. \]

Шаг 2: Подставьте параметры в интеграл

Преобразуем интеграл в зависимости только от x: \[ \int_{-1}^{1} \left( x^2 + 2x(2 - x^2) \right) dx - \left( 3x^2 - 2 + x^2 + 1 \right)(-2x)dx. \]

Общий интеграл:

\[ \int_{-1}^{1} \left( x^2 + 4x - 2x^3 + 4x^3 - 8x \right) dx. \]

\[ \int_{-1}^{1} \left( x^2 - 2x^3 + 4x^3 \right) dx. = -5 .\]