Вычислить кратные интегралы, измеренные по заданным линиям

Задание относится к предмету «Высшая математика», а конкретно к теме «Кратные интегралы» в разделе «Интегралы по заданным областям».

Условие:

Требуется вычислить двойной интеграл: \[ \iint\limits_D (y - x) \, dx\, dy, \] где \( D \) — область, ограниченная кривыми \( y = x \) и \( y = x^2 \).

Шаг 1: Определение границ области \( D \)

Границы заданной области задаются линиями \( y = x \) и \( y = x^2 \). Это значит, что \( D \) — это область между этими двумя кривыми. Поскольку они обе являются функциями от \( x \), область интегрирования можно определить в декартовых координатах.

• Линия \( y = x \) — это прямая, а \( y = x^2 \) — парабола.
• Пересечем их для определения границ: \[ x = x^2 \Rightarrow x^2 - x = 0 \Rightarrow x(x - 1) = 0, \] следовательно, точки пересечения: \( x = 0 \) и \( x = 1 \). Таким образом, по оси \( x \): \( x \in [0, 1] \).

Шаг 2: Определим пределы по \( y \)

Для каждого \( x \in [0, 1] \), \( y \) изменяется от нижней границы \( y = x^2 \) до верхней границы \( y = x \).

Итак, пределы интегрирования:

• по \( x \): от 0 до 1,
• по \( y \): от \( x^2 \) до \( x \).

Шаг 3: Запись двойного интеграла

Запишем двойной интеграл с найденными пределами: \[ \int_0^1 \int_{x^2}^x (y - x) \, dy\, dx. \]

Шаг 4: Вычисление внутреннего интеграла по \( y \)

Вначале вычислим внутренний интеграл по \( y \). Интегрируем выражение \( y - x \) по \( y \):

\[ \int (y - x) \, dy = \frac{y^2}{2} - xy. \]

Подставим границы интегрирования \( y = x^2 \) и \( y = x \):

\[ \left( \frac{x^2}{2} - x \cdot x \right) - \left( \frac{(x^2)^2}{2} - x \cdot x^2 \right) = \left(\frac{x^2}{2} - x^2 \right) - \left(\frac{x^4}{2} - x^3\right). \]

Упрощаем выражение:

\[ = \left( -\frac{x^2}{2} \right) - \left( \frac{x^4}{2} - x^3 \right) = -\frac{x^2}{2} - \frac{x^4}{2} + x^3. \]

Шаг 5: Вычисление внешнего интеграла по \( x \)

Теперь вычислим внешний интеграл:

\[ \int_0^1 \left( -\frac{x^2}{2} - \frac{x^4}{2} + x^3 \right) \, dx. \]

Рассчитаем каждый из этих интегралов по отдельности:

1. \[ \int_0^1 -\frac{x^2}{2} \, dx = -\frac{1}{2} \cdot \frac{x^3}{3} \Big|_0^1 = -\frac{1}{6}. \]
2. \[ \int_0^1 -\frac{x^4}{2} \, dx = -\frac{1}{2} \cdot \frac{x^5}{5} \Big|_0^1 = -\frac{1}{10}. \]
3. \[ \int_0^1 x^3 \, dx = \frac{x^4}{4} \Big|_0^1 = \frac{1}{4}. \]

Шаг 6: Итоговый результат

Сложим все найденные результаты:

\[ -\frac{1}{6} - \frac{1}{10} + \frac{1}{4}. \]

Приведем к общему знаменателю (общий знаменатель — 60):

\[ -\frac{10}{60} - \frac{6}{60} + \frac{15}{60} = -\frac{16}{60} + \frac{15/60} = -\frac{1}{60}. \]

Ответ: \[ \iint\limits_D (y - x) \, dx\, dy = -\frac{1}{60}. \]