Вычислить каждый интеграл

Предмет: Математика

Раздел: Интегралы (Неопределенные интегралы)

Рассмотрим решения данных интегралов по порядку.

Решение пункта г)

Найдем интеграл:
\int \frac{7x - 4}{x + 3}dx

Разделим дробь:
\frac{7x - 4}{x + 3} = 7 + \frac{-25}{x+3}

Тогда интеграл запишется как:
\int (7 + \frac{-25}{x+3})dx

Разделим интеграл на два:
\int 7dx - \int \frac{25}{x+3}dx

Вычисляем каждый интеграл:
\int 7dx = 7x
\int \frac{25}{x+3}dx = 25 \ln |x+3|

Окончательный ответ:
7x - 25 \ln |x+3| + C

Решение пункта д)

Найдем интеграл:
\int \frac{dx}{x^2 + 3x - 1}

Рассмотрим квадратное выражение в знаменателе:
x^2 + 3x - 1

Решим квадратное уравнение:
x^2 + 3x - 1 = 0
Найдем корни по формуле:
x = \frac{-3 \pm \sqrt{9 + 4}}{2} = \frac{-3 \pm \sqrt{13}}{2}

Разложим на множители, используя метод выделения полного квадрата:
x^2 + 3x - 1 = (x + \frac{3}{2})^2 - \frac{13}{4}

Используем стандартную подстановку:
x + \frac{3}{2} = t, тогда
dx = dt
и знаменатель принимает вид:
t^2 - \frac{13}{4}

Это выражение соответствует стандартному интегралу:
\int \frac{dx}{x^2 + bx + c} = \frac{1}{\sqrt{D}} \ln \left| 2x + b + 2\sqrt{D} \right| + C

Подставляя значения, получаем:
\frac{2}{\sqrt{13}} \ln \left| 2x + 3 + 2\sqrt{13} \right| - \frac{2}{\sqrt{13}} \ln \left| 2x + 3 - 2\sqrt{13} \right| + C

Ответ:
\frac{2}{\sqrt{13}} \ln \left| \frac{2x + 3 + 2\sqrt{13}}{2x + 3 - 2\sqrt{13}} \right| + C