Вычислить интегралы путем преобразования в цилиндрические или сферические координаты

Определение раздела и предмета задачи:

Данный интеграл относится к предмету высшей математики, разделу многомерных интегралов и вычисления тройных интегралов в цилиндрических и сферических координатах.

Задание:

Необходимо решить тройной интеграл: \( \iiint_V \frac{y \, dx \, dy \, dz}{\sqrt{x^2 + y^2}}, \) где \( V \) — область, заданная следующими условиями:

• \( x^2 + y^2 = 2y \),
• \( x^2 + y^2 = 4y \),
• \( x \geq 0 \),
• \( z \geq 0 \),
• \( z = 6 \).

Шаг 1. Преобразование уравнений области интегрирования

Представим уравнения \( x^2 + y^2 = 2y \) и \( x^2 + y^2 = 4y \) в полярной системе координат.

1. Напомним, что полярные координаты \( (r, \theta) \) выражаются так: \[ x = r \cos \theta, \quad y = r \sin \theta. \]
2. Тогда первая окружность \( x^2 + y^2 = 2y \) превращается в: \[ r^2 = 2r \sin \theta \quad \Rightarrow \quad r = 2 \sin \theta. \]
3. Вторая окружность \( x^2 + y^2 = 4y \) превращается в: \[ r^2 = 4r \sin \theta \quad \Rightarrow \quad r = 4 \sin \theta. \]

Таким образом, область интегрирования ограничена двумя окружностями \( r = 2 \sin \theta \) и \( r = 4 \sin \theta \) при \( x \geq 0 \) (то есть \( 0 \leq \theta \leq \pi \)) и \( z \) изменяется от 0 до 6.

Шаг 2. Преобразование интеграла в цилиндрические координаты

Для применения цилиндрических координат \( (r, \theta, z) \), воспользуемся следующими заменами: \[ x = r \cos \theta, \quad y = r \sin \theta, \quad dx \, dy = r \, dr \, d\theta. \]
Кроме того, \[ \sqrt{x^2 + y^2} = r. \]
Следовательно, исходный интеграл принимает вид: \[ \iiint_V \frac{y \, dx \, dy \, dz}{\sqrt{x^2 + y^2}} = \int_0^6 \int_{0}^{\pi} \int_{2 \sin \theta}^{4 \sin \theta} \frac{r \sin \theta \cdot r \, dr \, d\theta \, dz}{r}. \]
Упрощаем: \[ \int_0^6 \int_0^\pi \int_{2 \sin \theta}^{4 \sin \theta} r \sin \theta \, dr \, d\theta \, dz. \]

Шаг 3. Вычисление интеграла

1. Интегрируем по \( r \): \[ \int_{2 \sin \theta}^{4 \sin \theta} r \, dr = \left[ \frac{r^2}{2} \right]_{2 \sin \theta}^{4 \sin \theta} = \frac{(4 \sin \theta)^2}{2} - \frac{(2 \sin \theta)^2}{2} = \frac{16 \sin^2 \theta}{2} - \frac{4 \sin^2 \theta}{2} = 6 \sin^2 \theta. \]
2. Теперь интегрируем по \( \theta \): \[ \int_0^\pi 6 \sin^3 \theta \, d\theta. \] Это интеграл, который можно решить с помощью стандартных методов или использования тригонометрических тождества. Выражение \( \sin^3 \theta \) можно разложить следующим образом: \[ \sin^3 \theta = \frac{3 \sin \theta}{4} - \frac{\sin(3\theta)}{12}. \] Однако воспользуемся справочником, где известно, что \[ \int_0^\pi \sin^3 \theta \, d\theta = \frac{4}{3}. \] Тогда: \[ 6 \int_0^\pi \sin^3 \theta \, d\theta = 6 \times \frac{4}{3} = 8. \]
3. Интегрируем по \( z \): \[ \int_0^6 8 \, dz = 8 \times 6 = 48. \]

Ответ:

Значение тройного интеграла равно \( 48 \).