Вычислить интегралы, используя интегральную формулу Коши или теорему Коши о вычетах

Предмет: Комплексный анализ
Раздел: Интегральные теоремы (интегральная формула Коши, теорема о вычетах)

Рассмотрим контурный интеграл:

\oint_{|z + i| = 2} \frac{\cos z + z}{z^2} dz.

Шаг 1: Определение особенностей

Знаменатель содержит z^2, значит, особая точка находится в z = 0, которая является полюсом второго порядка.

Контур |z + i| = 2 представляет собой окружность с центром в точке z = -i и радиусом 2. Поскольку z = 0 попадает внутрь этого контура, можно применить теорему Коши о вычетах или интегральную формулу Коши.

Шаг 2: Разложение числителя

Числитель \cos z + z можно разложить в ряд Тейлора в окрестности z = 0:

\cos z = 1 - \frac{z^2}{2!} + \frac{z^4}{4!} - \dots

Тогда:

\cos z + z = 1 + z - \frac{z^2}{2} + \frac{z^4}{24} + \dots

Шаг 3: Деление на z^2

Разделим каждое слагаемое на z^2:

\frac{\cos z + z}{z^2} = \frac{1}{z^2} + \frac{1}{z} - \frac{1}{2} + \frac{z^2}{24} + \dots

Шаг 4: Вычисление интеграла

По интегральной формуле Коши для производных:

\oint \frac{1}{z^2} dz = 0, \quad \oint \frac{1}{z} dz = 2\pi i, \quad \oint C dz = 0, \quad \text{если } C \text{ — константа}.

Из разложения видно, что единственный вклад в интеграл дает член \frac{1}{z}, который соответствует вычету 1 в точке z=0.

По теореме Коши о вычетах:

\oint_{|z + i| = 2} \frac{\cos z + z}{z^2} dz = 2\pi i \cdot 1 = 2\pi i.

Ответ:

2\pi i.