Вычислить интегралы и сделать проверку

Определение предмета и раздела

Предмет: Математика
Раздел: Интегральное исчисление

Решение интеграла

Дан интеграл:  I = \int \frac{dx}{x^2 + 5x + 8} 

Шаг 1: Преобразуем квадратный трёхчлен в знаменателе

Рассмотрим квадратный трёхчлен:  x^2 + 5x + 8 

Дополняем до полного квадрата:  x^2 + 5x + 8 = \left( x^2 + 5x + \frac{25}{4} \right) + 8 - \frac{25}{4} 

 = \left( x + \frac{5}{2} \right)^2 + \frac{32}{4} - \frac{25}{4} = \left( x + \frac{5}{2} \right)^2 + \frac{7}{4} 

Шаг 2: Используем замену переменной

Пусть:  t = x + \frac{5}{2} 

Тогда:  dt = dx 

Подставляем в интеграл:  I = \int \frac{dt}{t^2 + \frac{7}{4}} 

Используем стандартную формулу:  \int \frac{dx}{x^2 + a^2} = \frac{1}{a} \arctan \frac{x}{a} + C 

Здесь a^2 = \frac{7}{4}, значит a = \frac{\sqrt{7}}{2}. Тогда:  I = \int \frac{dt}{t^2 + \left(\frac{\sqrt{7}}{2}\right)^2} = \frac{2}{\sqrt{7}} \arctan \left( \frac{2t}{\sqrt{7}} \right) + C 

Подставляем t = x + \frac{5}{2}:  I = \frac{2}{\sqrt{7}} \arctan \left( \frac{2(x + \frac{5}{2})}{\sqrt{7}} \right) + C 

Ответ:

 I = \frac{2}{\sqrt{7}} \arctan \left( \frac{2x + 5}{\sqrt{7}} \right) + C 

Проверка путем дифференцирования

Дифференцируем полученный результат:  \frac{d}{dx} \left( \frac{2}{\sqrt{7}} \arctan \left( \frac{2x + 5}{\sqrt{7}} \right) \right) 

Используем производную арктангенса:  \frac{d}{dx} \arctan u = \frac{1}{1+u^2} \cdot u' 

Здесь u = \frac{2x + 5}{\sqrt{7}}, тогда u' = \frac{2}{\sqrt{7}}.

 \frac{2}{\sqrt{7}} \cdot \frac{1}{1 + \left( \frac{2x + 5}{\sqrt{7}} \right)^2} \cdot \frac{2}{\sqrt{7}} 

 = \frac{4}{7} \cdot \frac{1}{1 + \frac{4x^2 + 20x + 25}{7}} 

 = \frac{4}{7} \cdot \frac{1}{\frac{7 + 4x^2 + 20x + 25}{7}} 

 = \frac{4}{(4x^2 + 20x + 32)} 

Так как 4(x^2 + 5x + 8) = 4x^2 + 20x + 32, получаем:  \frac{1}{x^2 + 5x + 8} 

Это совпадает с подынтегральной функцией, значит, ответ найден верно. ✅