Вычислить интегрального исчисление

Данный пример содержит определенный интеграл, который относится к области математического анализа, а конкретно к разделу интегрального исчисления. Здесь нам нужно вычислить определенный интеграл от $\text{(}\frac{dx}{x^2+x}\text{)}$ на интервале от 1 до 2.

1. Сначала упростим подынтегральное выражение: $\text{[}\frac{1}{x^2+x}=\frac{1}{x(x+1)}\text{]}$
2. Разложим дробь методом разложения на простые дроби: $\text{[}\frac{1}{x(x+1)}=\frac{A}{x}+\frac{B}{x+1}\text{]}$

   Для определения коэффициентов $\text{(}A\text{)}$ и $\text{(}B\text{)}$, приравняем обе части уравнения: $\text{[}1=A(x+1)+Bx\text{]}$ Расположим это равенство по степеням $\text{(}x\text{)}$:

   $\text{[}1=Ax+A+Bx\text{]}$ $\text{[}1=(A+B)x+A\text{]}$ Приравниваем коэффициенты при $\text{(}x\text{)}$ и свободный член:
   $\text{[}A+B=0\text{]}$
   $\text{[}A=1\text{]}$
   Отсюда находим:
   $\text{[}A=1\text{]}$
   $\text{[}B=-1\text{]}$
   Теперь подставим найденные значения коэффициентов в разложение:
   $\text{[}\frac{1}{x(x+1)}=\frac{1}{x}-\frac{1}{x+1}\text{]}$
3. Интегрируем подынтегральное выражение: $\text{[}{\int }_1^2(\frac{1}{x}-\frac{1}{x+1})dx\text{]}$ Это можно записать как сумму двух интегралов:
   $\text{[}{\int }_1^2\frac{1}{x}dx-{\int }_1^2\frac{1}{x+1}dx\text{]}$
4. Рассчитаем каждый интеграл по отдельности: $\text{[}{\int }_1^2\frac{1}{x}dx=\ln |x|{|}_1^2=\ln (2)-\ln (1)=\ln (2)\text{]}$
   $\text{[}{\int }_1^2\frac{1}{x+1}dx=\ln |x+1|{|}_1^2=\ln (3)-\ln (2)=\ln (3)-\ln (2)\text{]}$
5. Вычислим разность: $\text{[}\ln (2)-(\ln (3)-\ln (2))=\ln (2)-\ln (3)+\ln (2)=2\ln (2)-\ln (3)\text{]}$ Это можно упростить, если выразить результат в виде одного логарифма:
   $\text{[}2\ln (2)-\ln (3)=\ln (4)-\ln (3)=\ln \left(\frac{4}{3}\right)\text{]}$

   Таким образом, значение определенного интеграла равно: $\text{[}\boxed{{\displaystyle \ln \left(\frac{4}{3}\right)}}\text{]}$