Вычислить интегрального исчисление

Данный пример содержит определенный интеграл, который относится к области математического анализа, а конкретно к разделу интегрального исчисления. Здесь нам нужно вычислить определенный интеграл от \(\frac{dx}{x^2 + x}\) на интервале от 1 до 2.

1. Сначала упростим подынтегральное выражение: \[ \frac{1}{x^2 + x} = \frac{1}{x(x + 1)} \]
2. Разложим дробь методом разложения на простые дроби: \[ \frac{1}{x(x + 1)} = \frac{A}{x} + \frac{B}{x + 1} \]

   Для определения коэффициентов \(A\) и \(B\), приравняем обе части уравнения: \[ 1 = A(x + 1) + Bx \] Расположим это равенство по степеням \(x\):

   \[ 1 = Ax + A + Bx \] \[ 1 = (A + B)x + A \] Приравниваем коэффициенты при \(x\) и свободный член:
   \[ A + B = 0 \]
   \[ A = 1 \]
   Отсюда находим:
   \[ A = 1 \]
   \[ B = -1 \]
   Теперь подставим найденные значения коэффициентов в разложение:
   \[ \frac{1}{x(x + 1)} = \frac{1}{x} - \frac{1}{x + 1} \]
3. Интегрируем подынтегральное выражение: \[ \int_1^2 \left( \frac{1}{x} - \frac{1}{x + 1} \right) dx \] Это можно записать как сумму двух интегралов:
   \[ \int_1^2 \frac{1}{x} \, dx - \int_1^2 \frac{1}{x + 1} \, dx \]
4. Рассчитаем каждый интеграл по отдельности: \[ \int_1^2 \frac{1}{x} \, dx = \ln|x| \Big|_1^2 = \ln(2) - \ln(1) = \ln(2) \]
   \[ \int_1^2 \frac{1}{x + 1} \, dx = \ln|x + 1| \Big|_1^2 = \ln(3) - \ln(2) = \ln(3) - \ln(2) \]
5. Вычислим разность: \[ \ln(2) - (\ln(3) - \ln(2)) = \ln(2) - \ln(3) + \ln(2) = 2\ln(2) - \ln(3) \] Это можно упростить, если выразить результат в виде одного логарифма:
   \[ 2\ln(2) - \ln(3) = \ln(4) - \ln(3) = \ln\left(\frac{4}{3}\right) \]

   Таким образом, значение определенного интеграла равно: \[ \boxed{\ln\left(\frac{4}{3}\right)} \]