Вычислить интеграл с точностью с = 10-3, разложив подынтегральную функцию в степенной ряд и исследовать его на сходимость

Задание: Вычислить интеграл \[ \int_{0}^{0.5} \cos(x^4) \, dx \] с точностью \(\varepsilon = 10^{-3}\), разложив функцию \(\cos(x^4)\) в степенной ряд, и исследовать его на сходимость.

Предмет: Математический анализ

Раздел: Интегралы, степенные ряды

Шаг 1. Разложение функции \(\cos(x^4)\) в степенной ряд

Известно, что функция \(\cos(z)\) для случайного \(z\) разлагается в степенной ряд по формуле Маклорена:

\[ \cos(z) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n z^{2n}}{(2n)!}. \]

В нашем случае \(z = x^4\), и функция \(\cos(x^4)\) разлагается в ряд следующим образом:

\[ \cos(x^4) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n (x^4)^{2n}}{(2n)!} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{8n}}{(2n)!}. \]

Шаг 2. Выражение для интеграла

Теперь интеграл можно записать с учетом разложения:

\[ \int_0^{0.5} \cos(x^4) \,dx = \int_0^{0.5} \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{8n}}{(2n)!} dx. \]

Обмен интеграла и суммы возможен, так как ряд сходится равномерно для малых \(x\), в частности, для \(x \in [0, 0.5]\).

Теперь мы будем поэлементно интегрировать каждый член ряда:

\[ \int_0^{0.5} x^{8n} dx = \frac{(0.5)^{8n+1}}{8n+1}. \]

Таким образом, интеграл будет записан через сумму:

\[ \int_0^{0.5} \cos(x^4) \, dx = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n (0.5)^{8n+1}}{(2n)! (8n+1)}. \]

Шаг 3. Оценка суммы с точностью до \(10^{-3}\)

Для приближенного вычисления суммы учитываем только те члены ряда, значения которых больше заданной точности \(\varepsilon = 10^{-3}\). Поочередно вычисляем первые несколько членов ряда:

Для \(n = 0\):

\[ \frac{(0.5)^1}{1! \cdot 1} = 0.5. \]

Для \(n = 1\):

\[ \frac{-(0.5)^9}{2! \cdot 9} = \frac{-0.001953125}{18} \approx -0.000108. \]

Для \(n = 2\):

\[ \frac{(0.5)^{17}}{4! \cdot 17} \approx 5.96 \times 10^{-7}, \]

что уже существенно меньше \(10^{-3}\), поэтому дальше не учитываем.

Шаг 4. Оценка результата

Суммируем учтенные члены ряда:

\[ 0.5 - 0.000108 \approx 0.4999. \]

Таким образом, с точностью \( \varepsilon = 10^{-3} \):

Ответ: \[ \int_{0}^{0.5} \cos(x^4) dx = 0.4999 \text{ с точностью } \varepsilon = 10^{-3}. \]

\[ \int_{0}^{0.5} \cos(x^4) dx \approx 0.4999. \]