Вычислить интеграл с точностью 0,001, разложив подынтегральную функцию в степенной ряд

Предмет: Математика

Раздел: Математический анализ (Интегралы и разложение в ряды)

Дан интеграл:
 I = \int\limits_0^{0.5} \frac{\operatorname{arctg}(x^2)}{x} \, dx 

Шаг 1. Разложение функции в степенной ряд

Функция \operatorname{arctg}(x) имеет разложение в степенной ряд:
 \operatorname{arctg}(x) = \sum\limits_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{2n+1}, \quad |x| \leq 1 

Заменяя x на x^2, получаем:
 \operatorname{arctg}(x^2) = \sum\limits_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{4n+2}}{2n+1} 

Делим на x:
 \frac{\operatorname{arctg}(x^2)}{x} = \sum\limits_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{4n+1}}{2n+1} 

Шаг 2. Интегрирование почленно

Интегрируем ряд:
 I = \int\limits_0^{0.5} \sum\limits_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{4n+1}}{2n+1} \, dx 

Почленное интегрирование даёт:
 I = \sum\limits_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(2n+1)(4n+2)} x^{4n+2} \Bigg|_0^{0.5} 

Подставляем пределы:
 I = \sum\limits_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(2n+1)(4n+2)} (0.5)^{4n+2} 

Шаг 3. Вычисление с точностью 0.001

Вычисляем несколько первых членов суммы:

• Для n = 0:
   \frac{(0.5)^2}{1 \cdot 2} = \frac{0.25}{2} = 0.125 

• Для n = 1:
   \frac{-(0.5)^6}{3 \cdot 6} = \frac{-0.015625}{18} \approx -0.000868 

Сумма первых двух членов:
 0.125 - 0.000868 = 0.124132 

Так как следующий член ряда будет ещё меньше по модулю, то можно принять
 I \approx 0.124  с точностью до 0.001.

Ответ:

 I \approx 0.124