Задание относится к разделу математики, а конкретно к курсу математического анализа и изучению интегралов — в данном случае это криволинейный интеграл вдоль прямоугольника, заданного линиями.
Условие:
Нужно вычислить криволинейный интеграл вида \( \int y \, dx \) вдоль прямоугольника, который ограничен линиями:
\( x=0, y=0 \), \( x=2, y=4 \).
Шаги для решения:
-
Визуализируем прямоугольник:
Прямоугольник образован такими линиями:
- \( x = 0 \)
- \( y = 0 \)
- \( x = 2 \)
- \( y = 4 \)
Его вершины:
- \( A(0, 0) \)
- \( B(2, 0) \)
- \( C(2, 4) \)
- \( D(0, 4) \)
Это значит, что контур состоит из отрезков:
- \( AB: (0, 0) \to (2, 0) \)
- \( BC: (2, 0) \to (2, 4) \)
- \( CD: (2, 4) \to (0, 4) \)
- \( DA: (0, 4) \to (0, 0) \)
-
Разделим интеграл на участки: Нам нужно вычислить интеграл вдоль всего контура прямоугольника, то есть вдоль всех четырех отрезков:
\[
\int_{\text{AB}} y \, dx + \int_{\text{BC}} y \, dx + \int_{\text{CD}} y \, dx + \int_{\text{DA}} y \, dx
\]
-
Вычислим каждый интеграл:
-
На участке \( AB \): Здесь \( y = 0 \), и \( dx \) изменяется от 0 до 2. Интеграл будет равен:
\[
\int_0^2 0 \, dx = 0
\]
-
На участке \( BC \): Здесь \( x = 2 \), и \( y \) меняется от 0 до 4, но поскольку интеграл по переменной \( x \), а \( dx = 0 \) (так как \( x \) постоянен), этот интеграл тоже равен нулю:
\[
\int_{\text{BC}} y \, dx = 0
\]
-
На участке \( CD \): Здесь \( y = 4 \), а \( x \) меняется от 2 до 0. Значит, интеграл равен:
\[
\int_2^0 4 \, dx = 4 \cdot (0 - 2) = -8
\]
-
На участке \( DA \): Здесь \( x = 0 \) и \( y \) меняется от 4 до 0. Поскольку \( dx = 0 \) (так как \( x \) постоянен), этот интеграл также равен нулю:
\[
\int_{\text{DA}} y \, dx = 0
\]
-
Суммируем: Теперь складываем результаты всех интегралов:
\[
0 + 0 + (-8) + 0 = -8
\]
Ответ:
Значение криволинейного интеграла \( \int y \, dx \) по заданному прямоугольнику равно \( -8 \).