Задание под номером 7 относится к предмету математического анализа, разделу, посвященному кратным интегралам, или же интегралам по областям и поверхностям. Перед нами стоит задачу вычислить следующий интеграл: \( \int_{(0,0)}^{(1,2)} e^x (y dx + dy) \).
Шаг 1: Разделение интеграла
Интеграл можно переписать как сумму двух отдельных интегралов: \( \int_{(0,0)}^{(1,2)} e^x y dx + \int_{(0,0)}^{(1,2)} e^x dy \).
Шаг 2: Параметризация пути
Нам нужно рассмотреть путь интегрирования от точки \( (0,0) \) до точки \( (1,2) \). По всей видимости, интеграл берется по прямой линии, соединяющей эти точки, то есть \( x = t \), \( y = 2t \), где \( t \in [0, 1] \). Подставим это в интегралы.
Шаг 3: Преобразование выражений и вычисление
Для \( x = t \), \( y = 2t \):
1. Рассмотрим первую часть интеграла, связанную с \( dx \): \[ \int_{(0,0)}^{(1,2)} e^x y \, dx = \int_0^1 e^t \cdot 2t \, dt. \] Этот интеграл достаточно стандартен и решается по частям.
2. Рассмотрим вторую часть интеграла, связанную с \( dy \): \[ dy = \frac{dy}{dt} dt = 2 dt, \] тогда интеграл будет: \[ \int_{(0,0)}^{(1,2)} e^x \, dy = \int_0^1 e^t \cdot 2 \, dt = 2 \int_0^1 e^t \, dt. \]
Шаг 4: Решение интегралов
1. Вычислим первый интеграл: \[ \int_0^1 e^t \cdot 2t \, dt. \] Этот интеграл решается по частям. Пусть:
- \( u = 2t \), тогда \( du = 2 dt \),
- \( dv = e^t dt \), тогда \( v = e^t \).
Применяя интегрирование по частям: \[ \int_0^1 2t e^t \, dt = 2t e^t \big|_0^1 - \int_0^1 2 e^t \, dt = 2e - 2(e - 1) = 2. \]
2. Вычислим второй интеграл: \[ 2 \int_0^1 e^t \, dt = 2 \left( e^t \big|_0^1 \right) = 2(e - 1). \]
Шаг 5: Итоговый результат
Суммируя полученные результаты для обоих интегралов: \[ 2 + 2(e - 1) = 2 + 2e - 2 = 2e. \]
Ответ: \[ \boxed{2e}. \]