Вычислить интеграл по области D

Предмет: Математика
Раздел: Математический анализ, кратные интегралы

Дано двойной интеграл по области D:

 \iint_D y^2 \sin \frac{xy}{2} \, dx\, dy 

Область интегрирования D задана условиями:

 x=0, \quad y = \sqrt{\pi}, \quad y = \frac{x}{2} 

Шаг 1. Определение области интегрирования

Даны три условия, которые задают границы области:

• x=0 — левая граница по x
• y = \sqrt{\pi} — горизонтальная прямая, верхняя граница по y
• y = \frac{x}{2} — прямая, задающая нижнюю границу для y при фиксированном x

Из условия y = \frac{x}{2} выразим x через y:

 x = 2y 

Так как y меняется от 0 до \sqrt{\pi}, а x от 0 до 2y.

Шаг 2. Запишем пределы интегрирования

Интегрируем сначала по x от 0 до 2y, затем по y от 0 до \sqrt{\pi}:

 \int_0^{\sqrt{\pi}} dy \int_0^{2y} y^2 \sin \frac{xy}{2} \, dx 

Шаг 3. Интегрирование по x

Подынтегральная функция: y^2 \sin \frac{xy}{2}.

При фиксированном y интегрируем по x:

 I(y) = \int_0^{2y} y^2 \sin \frac{xy}{2} \, dx 

Вынесем y^2 за знак интеграла (константа по x):

 I(y) = y^2 \int_0^{2y} \sin \frac{xy}{2} \, dx 

Сделаем замену переменной:

 t = \frac{xy}{2} \implies x = \frac{2t}{y}, \quad dx = \frac{2}{y} dt 

Пределы при x=0 \Rightarrow t=0 и при x=2y \Rightarrow t = \frac{2y \cdot y}{2} = y^2.

Подынтегральное выражение преобразуется:

 I(y) = y^2 \int_0^{y^2} \sin t \cdot \frac{2}{y} dt = 2y \int_0^{y^2} \sin t \, dt 

Шаг 4. Интегрируем по t

 \int_0^{y^2} \sin t \, dt = [-\cos t]_0^{y^2} = 1 - \cos y^2 

Подставим обратно:

 I(y) = 2y (1 - \cos y^2) 

Шаг 5. Интегрирование по y

Теперь вычислим:

 \int_0^{\sqrt{\pi}} 2y (1 - \cos y^2) \, dy = 2 \int_0^{\sqrt{\pi}} y \, dy - 2 \int_0^{\sqrt{\pi}} y \cos y^2 \, dy 

Шаг 6. Первый интеграл

 2 \int_0^{\sqrt{\pi}} y \, dy = 2 \cdot \frac{y^2}{2} \Big|_0^{\sqrt{\pi}} = y^2 \Big|_0^{\sqrt{\pi}} = \pi 

Шаг 7. Второй интеграл

 \int_0^{\sqrt{\pi}} y \cos y^2 \, dy 

Сделаем замену:

 u = y^2, \quad du = 2y \, dy \implies y dy = \frac{du}{2} 

Пределы при y=0 \Rightarrow u=0, при y=\sqrt{\pi} \Rightarrow u=\pi.

Тогда:

 \int_0^{\sqrt{\pi}} y \cos y^2 \, dy = \int_0^{\pi} \cos u \cdot \frac{du}{2} = \frac{1}{2} \int_0^{\pi} \cos u \, du = \frac{1}{2} [\sin u]_0^{\pi} = \frac{1}{2} (0 - 0) = 0 

Шаг 8. Итог

Подставляем:

 \int_0^{\sqrt{\pi}} 2y (1 - \cos y^2) \, dy = \pi - 2 \cdot 0 = \pi 

Ответ:

 \boxed{\pi}