Вычислить интеграл по линии излома, проходящей через точки

Предмет: Математика (Раздел: Математический анализ, тема: Линейные интегралы)

Мы видим задачу на вычисление определенного интеграла по линии, которая проходит через три точки: (0, 0), (1, 0) и (1, 1). Нужно вычислить линейный интеграл от векторного поля. Задан интеграл следующего вида:

\[ \int \left( 3x^2y \, dx + (x^3 + 1) \, dy \right) \],

где путь излома проходит через три точки: \( A(0, 0) \), \( B(1, 0) \), \( C(1, 1) \). Разобьем задачу на вычисления по каждому участку излома.

1. Участок AB (из (0, 0) в (1, 0)):

На этом участке \(0 \leq x \leq 1\) переменная \(y = 0\), следовательно \(dy = 0\), а \(dx \neq 0\). Интеграл на этом участке примет вид:

\[ \int_{A}^{B} \left( 3x^2y \, dx + (x^3+1) \, dy \right) = \int_0^1 \left( 3x^2 \cdot 0 \, dx + (x^3 + 1) \cdot 0 \right) = 0. \]

То есть интеграл на участке \(AB\) равен нулю.

2. Участок BC (из (1, 0) в (1, 1)):

На этом участке \(x = 1\), а \(y\) изменяется от \(0\) до \(1\). Следовательно, \(dx = 0\), а \(dy \neq 0\). Интеграл примет вид:

\[ \int_{B}^{C} \left( 3x^2y \, dx + (x^3+1) \, dy \right) = \int_0^1 \left( 3 \cdot 1^2 \cdot y \cdot 0 + (1^3 + 1) \, dy \right). \]

Первое слагаемое снова равно нулю, так как \(dx = 0\). Осталось только:

\[ \int_0^1 (1^3 + 1) \, dy = \int_0^1 (1 + 1) \, dy = \int_0^1 2 \, dy. \]

Теперь вычислим этот простой интеграл:

\[ \int_0^1 2 \, dy = 2y \Big|_0^1 = 2 \cdot 1 - 2 \cdot 0 = 2. \]

Итог:

\[ \boxed{2}. \]

Суммируем результаты всех участков. Интеграл по участку \(AB\) равен 0, а по участку \(BC\) равен 2. Следовательно, общий ответ равен: