Вычислить интеграл по кривой

Предмет: Математика.

Раздел: Векторный анализ / Интегралы, интегрирование по кривой.

Задание: Вычислить интеграл \(\int_L \frac{1}{x-y} \,dl\), где \(L\) — отрезок \(MN\): \(M(0, -2)\), \(N(4, 0)\).

Решение:

1. Найдем параметрическое уравнение отрезка \(MN\). Параметризация отрезка: \((x, y) = (0, -2) + t \cdot [(4, 0) - (0, -2)]\), где \(t\) меняется от 0 до 1. \[(x, y) = (0, -2) + t (4, 2) \Rightarrow x = 4t, \, y = -2 + 2t, \, t \in [0, 1]\]
2. Найдем выражение для \(dl\). Длина элементарного отрезка определяется как: \[dl = \sqrt{ \left(\frac{dx}{dt}\right)^2 + \left(\frac{dy}{dt}\right)^2 } \, dt\] Найдем частные производные \(x(t)\) и \(y(t)\): \[\frac{dx}{dt} = 4, \quad \frac{dy}{dt} = 2\] Тогда: \[dl = \sqrt{4^2 + 2^2} \, dt = \sqrt{16 + 4} \, dt = \sqrt{20} \, dt = 2\sqrt{5} \, dt\]
3. Подставим \(x\), \(y\) и \(dl\) в интеграл. \[\int_L \frac{1}{x-y} \, dl = \int_0^1 \frac{1}{4t - (-2+2t)} \cdot 2\sqrt{5} \, dt\] Упростим выражение под интегралом: \[4t - (-2 + 2t) = 4t + 2 - 2t = 2t + 2 = 2(t + 1)\] Тогда: \[\int_0^1 \frac{1}{2(t + 1)} \cdot 2\sqrt{5} \, dt = \int_0^1 \frac{\sqrt{5}}{t + 1} \, dt\]
4. Вычислим интеграл. Используем подстановку \(u = t + 1\), тогда \(du = dt\). Пределы интегрирования при \(t\) от 0 до 1 будут \(u\) от 1 до 2. \[\int_1^2 \frac{\sqrt{5}}{u} \, du = \sqrt{5} \int_1^2 \frac{1}{u} \, du = \sqrt{5} \left[ \ln u \right]_1^2 = \sqrt{5} \left( \ln 2 - \ln 1 \right) = \sqrt{5} \ln 2\] Так как \(\ln 1 = 0\), окончательный ответ: \[\int_L \frac{1}{x-y} \, dl = \sqrt{5} \ln 2\]

Ответ: \(\sqrt{5} \ln 2\).