Вычислить интеграл по дуге от точки к точке кривой

Задание относится к предмету "Математика", а конкретнее к разделу "Интегралы" и "Криволинейные интегралы".

Нам нужно вычислить линейный интеграл по заданной кривой.

Дано:

• Уравнение кривой: \(y = x^3\).
• Точки: от \(A(0, 0)\) до \(B(2, 8)\).
• Вычислить криволинейный интеграл \(\int_A^B (x \, dy - y \, dx)\).

Шаг 1. Выразим все через одну переменную (например, через \(x\)).

У нас уже есть зависимость \(y = x^3\), значит:

\[ dy = 3x^2 \, dx. \]

Теперь подставим это в исходное выражение интеграла.

Шаг 2. Подставляем выражения для \(dy\) и \(y\) в интеграл.

\[ \int_A^B (x \, dy - y \, dx) = \int_0^2 \left( x \cdot 3x^2 \, dx - x^3 \, dx \right). \]

Шаг 3. Приводим интеграл к простому виду.

\[ \int_0^2 \left( 3x^3 \, dx - x^3 \, dx \right) = \int_0^2 2x^3 \, dx. \]

Шаг 4. Вычисляем интеграл.

Найдём первообразную для \(2x^3\):

\[ \int 2x^3 \, dx = \frac{2x^4}{4} = \frac{x^4}{2}. \]

Теперь вычислим значение на пределах от 0 до 2:

\[ \left[ \frac{x^4}{2} \right]_0^2 = \frac{2^4}{2} - \frac{0^4}{2} = \frac{16}{2} - 0 = 8. \]

Ответ:

Интеграл равен \(8\).