Вычислить интеграл по длине кривой

Это задание относится к предмету "Высшая математика", а конкретно к разделу "Интегралы по кривой". Нам даётся параметрическое уравнение кривой и необходимо вычислить интеграл по длине этой кривой.

---

Задание: \[ \int_L (x^2 + y^2 + z^2) \, ds \]

Где кривая \( L \) задана параметрически:

\[ x = a \cos t, \]

\[ y = a \sin t, \]

\[ z = -bt, \]

При \( t \) из промежутка \( 0 \leq t \leq 2\pi \).

---

Шаг 1: Найдём элементы кривой (интегральный элемент длины)

Первым делом, необходимо найти элемент длины дуги \( ds \). Он определяется как:

\[ ds = \sqrt{\left( \frac{dx}{dt} \right)^2 + \left( \frac{dy}{dt} \right)^2 + \left( \frac{dz}{dt} \right)^2} \, dt \]

Найдём производные:

\[ \frac{dx}{dt} = \frac{d}{dt}(a \cos t) = -a \sin t, \]

\[ \frac{dy}{dt} = \frac{d}{dt}(a \sin t) = a \cos t, \]

\[ \frac{dz}{dt} = \frac{d}{dt}(-bt) = -b. \]

Теперь подставим эти выражения в формулу для \( ds \):

\[ ds = \sqrt{(-a \sin t)^2 + (a \cos t)^2 + (-b)^2} \, dt \]

\[ ds = \sqrt{a^2 \sin^2 t + a^2 \cos^2 t + b^2} \, dt \]

Используем тригонометрическое тождество: \( \sin^2 t + \cos^2 t = 1 \):

\[ ds = \sqrt{a^2 + b^2} \, dt \]

---

Шаг 2: Подставим выражения для x, y, z в интеграл

Подставим параметры \( x^2 + y^2 + z^2 \) из уравнений кривой в интеграл:

\[ x^2 + y^2 + z^2 = (a \cos t)^2 + (a \sin t)^2 + (-bt)^2 \]

Выразим через известные значения:

\[ x^2 + y^2 + z^2 = a^2 \cos^2 t + a^2 \sin^2 t + b^2 t^2 \]

Используя тот же результат \( \cos^2 t + \sin^2 t = 1 \), получаем:

\[ x^2 + y^2 + z^2 = a^2 + b^2 t^2 \]

Теперь подставим выражение в интеграл:

\[ \int_L (x^2 + y^2 + z^2) \, ds = \int_0^{2\pi} (a^2 + b^2 t^2) \cdot \sqrt{a^2 + b^2} \, dt \]

---

Шаг 3: Вычислим интеграл

Выносим константу \( \sqrt{a^2 + b^2} \) за знак интеграла:

\[ \sqrt{a^2 + b^2} \int_0^{2\pi} (a^2 + b^2 t^2) \, dt \]

Теперь мы разбиваем интеграл на два составляющих:

\[ \sqrt{a^2 + b^2} \left[ a^2 \int_0^{2\pi} dt + b^2 \int_0^{2\pi} t^2 \, dt \right] \]

Вычислим каждый интеграл по отдельности:

1. \( \int_0^{2\pi} dt = 2\pi \),
2. \( \int_0^{2\pi} t^2 \, dt = \left[ \frac{t^3}{3} \right]_0^{2\pi} = \frac{(2\pi)^3}{3} = \frac{8\pi^3}{3} \).

Теперь подставляем всё обратно:

\[ \sqrt{a^2 + b^2} \left[ a^2 \cdot 2\pi + b^2 \cdot \frac{8\pi^3}{3} \right] \]

\[ = 2\pi a^2 \sqrt{a^2 + b^2} + \frac{8\pi^3 b^2}{3} \sqrt{a^2 + b^2} \]

---

Ответ: