Вычислить интеграл непосредственно

Определение предмета и раздела

Данный вопрос относится к математике, а именно к разделу кратных интегралов и интегрирования по области.

Разбор задачи

Дано векторное поле и требуется вычислить криволинейный интеграл второго рода по границе области ( D ), которая ограничена кривыми:

• ( x = 1 ),
• ( y = x^3 ),
• ( y = -x^{1/2} ).

Интеграл имеет вид:

 \oint_{\partial D} \left( -8x^3 y^4 \,dx + 6x^3 y^2 \,dy \right). 

Для вычисления этого интеграла можно воспользоваться теоремой Грина, которая связывает криволинейный интеграл второго рода с двойным интегралом по области.

Теорема Грина

Теорема Грина утверждает, что для поля ( \mathbf{F} = (P, Q) ):

 \oint_{\partial D} P \,dx + Q \,dy = \iint_D \left( \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} \right) dA. 

Где:

• ( P = -8x^3 y^4 ),
• ( Q = 6x^3 y^2 ).

Вычислим частные производные:

 \frac{\partial Q}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x} (6x^3 y^2) = 18x^2 y^2. 

 \frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y} (-8x^3 y^4) = -32x^3 y^3. 

Подставляем в формулу:

 \iint_D \left( 18x^2 y^2 - (-32x^3 y^3) \right) dA = \iint_D (18x^2 y^2 + 32x^3 y^3) dA. 

Определение пределов интегрирования

Область ( D ) ограничена кривыми ( y = x^3 ) и ( y = -x^{1/2} ), а также вертикальной прямой ( x = 1 ).

Диапазон изменения ( x ):  0 \leq x \leq 1. 

Для каждого фиксированного ( x ), ( y ) меняется от ( y = -x^{1/2} ) до ( y = x^3 ).

Вычисление двойного интеграла

Теперь вычисляем:

 \int_0^1 \int_{-x^{1/2}}^{x^3} (18x^2 y^2 + 32x^3 y^3) \, dy \, dx. 

Рассчитаем по отдельности интегралы:

1. Первый интеграл:

 \int_{-x^{1/2}}^{x^3} 18x^2 y^2 \, dy. 

Используем формулу интегрирования степенной функции:

 \int y^n \, dy = \frac{y^{n+1}}{n+1}. 

Получаем:

 \frac{18x^2}{3} \left[ y^3 \right]_{-x^{1/2}}^{x^3} = 6x^2 \left( (x^3)^3 - (-x^{1/2})^3 \right). 

 = 6x^2 \left( x^9 - (-x^{3/2}) \right). 

 = 6x^2 (x^9 + x^{3/2}). 

 = 6x^{11} + 6x^{7/2}. 

2. Второй интеграл:

 \int_{-x^{1/2}}^{x^3} 32x^3 y^3 \, dy. 

Аналогично:

 \frac{32x^3}{4} \left[ y^4 \right]_{-x^{1/2}}^{x^3} = 8x^3 \left( (x^3)^4 - (-x^{1/2})^4 \right). 

 = 8x^3 \left( x^{12} - x^2 \right). 

 = 8x^{15} - 8x^5. 

Вычисление внешнего интеграла

Теперь вычисляем:

 \int_0^1 (6x^{11} + 6x^{7/2} + 8x^{15} - 8x^5) \, dx. 

Каждый из них интегрируем по формуле:

 \int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}. 

Рассчитаем:

 \frac{6}{12} x^{12} + \frac{6}{9/2} x^{9/2} + \frac{8}{16} x^{16} - \frac{8}{6} x^6. 

 = \frac{1}{2} x^{12} + \frac{12}{9} x^{9/2} + \frac{1}{2} x^{16} - \frac{4}{3} x^6. 

Подставляем пределы от 0 до 1:

 \left( \frac{1}{2} + \frac{12}{9} + \frac{1}{2} - \frac{4}{3} \right) - 0. 

Вычисляем:

 \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1. 

 \frac{12}{9} = \frac{4}{3}. 

 1 + \frac{4}{3} - \frac{4}{3} = 1. 

Ответ:

 1.