Вычислить интеграл методом разложения на простые дроби

Это задание по предмету "Математика", раздел "Интегралы".

Нам нужно вычислить интеграл вида \[ \int \frac{x}{(x-1)(x-2)(x-3)} \, dx. \] Для решения этого интеграла будем использовать метод разложения на простые дроби.

Шаг 1: Разложение на простые дроби.

Предположим, что выражение \(\frac{x}{(x-1)(x-2)(x-3)}\) можно разложить на простые дроби таким образом: \[ \frac{x}{(x-1)(x-2)(x-3)} = \frac{A}{x-1} + \frac{B}{x-2} + \frac{C}{x-3}, \] где \(A\), \(B\) и \(C\) - коэффициенты, которые нам нужно найти.

Шаг 2: Находим коэффициенты \(A\), \(B\) и \(C\).

Для этого умножим обе части уравнения на \((x-1)(x-2)(x-3)\): \[ x = A(x-2)(x-3) + B(x-1)(x-3) + C(x-1)(x-2). \] Теперь подставим \(x = 1\), чтобы найти \(A\):

Подставим \(x = 2\), чтобы найти \(B\):

Подставим \x = 3\), чтобы найти \(C\):

Итак, мы получили разложение: \[ \frac{x}{(x-1)(x-2)(x-3)} = \frac{1/2}{x-1} - \frac{2}{x-2} + \frac{3/2}{x-3}. \]

Шаг 3: Интегрирование каждой простой дроби.

\[ \int \frac{x}{(x-1)(x-2)(x-3)} \, dx = \int \left( \frac{1/2}{x-1} - \frac{2}{x-2} + \frac{3/2}{x-3} \right) \, dx \] Каждая из этих дробей легко интегрируется: \[ \int \frac{1/2}{x-1} \, dx = \frac{1}{2} \ln |x-1| + C_1, \] \[ \int -\frac{2}{x-2} \, dx = -2 \ln |x-2| + C_2, \] \[ \int \frac{3/2}{x-3} \, dx = \frac{3}{2} \ln |x-3| + C_3. \]

Шаг 4: Объединяем результаты.

\[ \int \frac{x}{(x-1)(x-2)(x-3)} \, dx = \frac{1}{2} \ln |x-1| - 2 \ln |x-2| + \frac{3}{2} \ln |x-3| + C, \] где \(C = C_1 + C_2 + C_3\) - произвольная постоянная интегрирования.

Итак, ответ: \[ \boxed{\int \frac{x}{(x-1)(x-2)(x-3)} \, dx = \frac{1}{2} \ln |x-1| - 2 \ln |x-2| + \frac{3}{2} \ln |x-3| + C.} \]